数列 $1, 3, 7, 15, 31, \dots$ の一般項 $a_n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $1, 3, 7, 15, 31, \dots$ の一般項 $a_n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

この数列の階差数列を考えます。階差数列とは、隣り合う項の差を取った数列のことです。

* $3-1 = 2$

* $7-3 = 4$

* $15-7 = 8$

* $31-15 = 16$

このように、階差数列は $2, 4, 8, 16, \dots$ となり、これは初項 $2$、公比 $2$ の等比数列です。

したがって、階差数列の一般項は $2^n$ です。

$n \ge 2$ のとき、数列の一般項は次の式で表されます。

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 2^k$

ここで、$a_1 = 1$ であり、$\sum_{k=1}^{n-1} 2^k$ は初項 $2$、公比 $2$、項数 $n-1$ の等比数列の和なので、

$\sum_{k=1}^{n-1} 2^k = \frac{2(2^{n-1}-1)}{2-1} = 2^n - 2$

したがって、$n \ge 2$ のとき、

$a_n = 1 + 2^n - 2 = 2^n - 1$

$n=1$ のとき、$a_1 = 2^1 - 1 = 1$ となり、これは最初の項と一致します。

したがって、すべての $n$ に対して、$a_n = 2^n - 1$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$a_n = 2^n - 1$