数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。初項は $a_1 = 3$ で、漸化式は $a_{n+1} = a_n + 2n$ で与えられています。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める問題です。初項は $a_1 = 3$ で、漸化式は $a_{n+1} = a_n + 2n$ で与えられています。

2. 解き方の手順

与えられた漸化式は、$a_{n+1} - a_n = 2n$ と変形できます。これは階差数列の形を表しています。したがって、$a_n$ は階差数列が $2n$ である数列の一般項となります。

$n \ge 2$ のとき、$a_n$ は次のように表されます。

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 2k$

$a_1 = 3$ なので、

$a_n = 3 + \sum_{k=1}^{n-1} 2k$

シグマを計算します。

$\sum_{k=1}^{n-1} 2k = 2 \sum_{k=1}^{n-1} k = 2 \cdot \frac{(n-1)n}{2} = n(n-1) = n^2 - n$

よって、

$a_n = 3 + n^2 - n = n^2 - n + 3$

これは $n \ge 2$ のときの一般項です。

$n=1$ のとき、$a_1 = 1^2 - 1 + 3 = 1 - 1 + 3 = 3$ となり、$a_1 = 3$ という条件を満たします。

したがって、すべての $n$ に対して、$a_n = n^2 - n + 3$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$a_n = n^2 - n + 3$