複素数 $\alpha$ と $\beta$ について、以下の等式と不等式が成立することを示します。 (1) $|1 - \overline{\alpha}\beta|^2 - |\alpha - \beta|^2 = (1 - |\alpha|^2)(1 - |\beta|^2)$ (2) $\left| \frac{\alpha - \beta}{1 - \overline{\alpha}\beta} \right| < 1$ ただし $|\alpha| < 1, |\beta| < 1$

1. 問題の内容

複素数 $\alpha$ と $\beta$ について、以下の等式と不等式が成立することを示します。

(1) $|1 - \overline{\alpha}\beta|^2 - |\alpha - \beta|^2 = (1 - |\alpha|^2)(1 - |\beta|^2)$

(2) $\left| \frac{\alpha - \beta}{1 - \overline{\alpha}\beta} \right| < 1$ ただし $|\alpha| < 1, |\beta| < 1$

2. 解き方の手順

(1) 等式を証明します。複素数 $z$ に対して、$|z|^2 = z \overline{z}$ を利用します。

まず、左辺を展開します。

$|1 - \overline{\alpha}\beta|^2 = (1 - \overline{\alpha}\beta)(\overline{1 - \overline{\alpha}\beta}) = (1 - \overline{\alpha}\beta)(1 - \alpha \overline{\beta}) = 1 - \alpha \overline{\beta} - \overline{\alpha}\beta + |\alpha|^2 |\beta|^2$

$|\alpha - \beta|^2 = (\alpha - \beta)(\overline{\alpha - \beta}) = (\alpha - \beta)(\overline{\alpha} - \overline{\beta}) = |\alpha|^2 - \alpha \overline{\beta} - \overline{\alpha} \beta + |\beta|^2$

したがって、左辺は

$|1 - \overline{\alpha}\beta|^2 - |\alpha - \beta|^2 = (1 - \alpha \overline{\beta} - \overline{\alpha}\beta + |\alpha|^2 |\beta|^2) - (|\alpha|^2 - \alpha \overline{\beta} - \overline{\alpha} \beta + |\beta|^2) = 1 - |\alpha|^2 - |\beta|^2 + |\alpha|^2 |\beta|^2$

次に、右辺を展開します。

$(1 - |\alpha|^2)(1 - |\beta|^2) = 1 - |\beta|^2 - |\alpha|^2 + |\alpha|^2 |\beta|^2$

左辺と右辺は等しいので、与えられた等式は成立します。

(2) 不等式を証明します。$|\alpha| < 1$ かつ $|\beta| < 1$ のとき、$\left| \frac{\alpha - \beta}{1 - \overline{\alpha}\beta} \right| < 1$ を示す必要があります。

$\left| \frac{\alpha - \beta}{1 - \overline{\alpha}\beta} \right| < 1$ は $|\alpha - \beta| < |1 - \overline{\alpha}\beta|$ と同値です。

両辺を2乗すると、$|\alpha - \beta|^2 < |1 - \overline{\alpha}\beta|^2$ となります。

(1)の結果から、$|1 - \overline{\alpha}\beta|^2 - |\alpha - \beta|^2 = (1 - |\alpha|^2)(1 - |\beta|^2)$ です。

$|\alpha| < 1$ より $1 - |\alpha|^2 > 0$ であり、$|\beta| < 1$ より $1 - |\beta|^2 > 0$ です。したがって、

$(1 - |\alpha|^2)(1 - |\beta|^2) > 0$ が成立します。

すなわち、$|1 - \overline{\alpha}\beta|^2 - |\alpha - \beta|^2 > 0$ より、$|\alpha - \beta|^2 < |1 - \overline{\alpha}\beta|^2$ が成立します。

よって、$|\alpha - \beta| < |1 - \overline{\alpha}\beta|$ 、つまり、$\left| \frac{\alpha - \beta}{1 - \overline{\alpha}\beta} \right| < 1$ が成立します。

3. 最終的な答え

(1) $|1 - \overline{\alpha}\beta|^2 - |\alpha - \beta|^2 = (1 - |\alpha|^2)(1 - |\beta|^2)$ は成立する。

(2) $|\alpha| < 1, |\beta| < 1$ のとき、$\left| \frac{\alpha - \beta}{1 - \overline{\alpha}\beta} \right| < 1$ は成立する。