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与えられた分数式の計算を行い、式を簡略化します。 問題は、以下の式を計算することです。 $\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x-1} + \frac{2x+1}{x^3-1}$

代数学分数式式の簡略化因数分解通分
2025/4/15

1. 問題の内容

与えられた分数式の計算を行い、式を簡略化します。
問題は、以下の式を計算することです。
1x+1−1x−1+2x+1x3−1\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x-1} + \frac{2x+1}{x^3-1}

2. 解き方の手順

まず、x3−1x^3 - 1 を因数分解します。
x3−1=(x−1)(x2+x+1)x^3 - 1 = (x-1)(x^2 + x + 1)
次に、与えられた式を通分します。
1x+1−1x−1+2x+1(x−1)(x2+x+1)\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x-1} + \frac{2x+1}{(x-1)(x^2+x+1)}
通分するために、共通の分母を (x+1)(x−1)(x2+x+1)(x+1)(x-1)(x^2+x+1) とします。
ただし、x3−1=(x−1)(x2+x+1)x^3-1 = (x-1)(x^2+x+1) なので、共通分母は (x+1)(x3−1)(x+1)(x^3-1) または (x3−1)(x+1)(x^3-1)(x+1)とみなせます。
最初の二つの項を通分すると、
x−1(x+1)(x−1)−x+1(x+1)(x−1)+2x+1x3−1\frac{x-1}{(x+1)(x-1)} - \frac{x+1}{(x+1)(x-1)} + \frac{2x+1}{x^3-1}
=x−1−(x+1)(x+1)(x−1)+2x+1x3−1= \frac{x-1-(x+1)}{(x+1)(x-1)} + \frac{2x+1}{x^3-1}
=−2x2−1+2x+1x3−1= \frac{-2}{x^2-1} + \frac{2x+1}{x^3-1}
=−2x2−1+2x+1(x−1)(x2+x+1)= \frac{-2}{x^2-1} + \frac{2x+1}{(x-1)(x^2+x+1)}
共通の分母を (x3−1)(x+1)=(x−1)(x2+x+1)(x+1)(x^3-1)(x+1) = (x-1)(x^2+x+1)(x+1) とすると、
=−2(x+1)(x2+x+1)(x2−1)(x2+x+1)(x+1)+(2x+1)(x2−1)(x−1)(x2+x+1)(x+1)(x−1)= \frac{-2(x+1)(x^2+x+1)}{(x^2-1)(x^2+x+1)(x+1)} + \frac{(2x+1)(x^2-1)}{ (x-1)(x^2+x+1)(x+1)(x-1)}
しかし、(x3−1)=(x−1)(x2+x+1)(x^3-1)=(x-1)(x^2+x+1)なので、共通分母を (x2−1)(x3−1)(x^2-1)(x^3-1)ではなく、(x3−1)(x+1)(x^3-1)(x+1)にすると、計算が楽になります。x2−1=(x−1)(x+1)x^2-1 = (x-1)(x+1)なので、共通分母は(x−1)(x+1)(x2+x+1)=(x+1)(x3−1)(x-1)(x+1)(x^2+x+1) = (x+1)(x^3-1)です。
−2x2−1+2x+1x3−1=−2(x−1)(x+1)+2x+1(x−1)(x2+x+1)\frac{-2}{x^2-1} + \frac{2x+1}{x^3-1} = \frac{-2}{(x-1)(x+1)} + \frac{2x+1}{(x-1)(x^2+x+1)}
=−2(x2+x+1)+(2x+1)(x+1)(x−1)(x+1)(x2+x+1)= \frac{-2(x^2+x+1) + (2x+1)(x+1)}{(x-1)(x+1)(x^2+x+1)}
=−2x2−2x−2+2x2+3x+1(x3−1)(x+1)=x−1(x3−1)(x+1)= \frac{-2x^2-2x-2 + 2x^2+3x+1}{(x^3-1)(x+1)} = \frac{x-1}{(x^3-1)(x+1)}
=x−1(x−1)(x2+x+1)(x+1)= \frac{x-1}{(x-1)(x^2+x+1)(x+1)}
=1(x2+x+1)(x+1)=1x3+x2+x+x2+x+1=1x3+2x2+2x+1= \frac{1}{(x^2+x+1)(x+1)} = \frac{1}{x^3+x^2+x+x^2+x+1} = \frac{1}{x^3+2x^2+2x+1}
−2(x3−1)(x3−1)(x2−1)+(2x+1)(x2−1)(x3−1)(x2−1)\frac{-2(x^3-1)}{(x^3-1)(x^2-1)} + \frac{(2x+1)(x^2-1)}{(x^3-1)(x^2-1)}
−2(x2+x+1)+(2x+1)(x+1)(x3−1)(x+1)\frac{-2(x^2+x+1) + (2x+1)(x+1)}{(x^3-1)(x+1)}
=−2x2−2x−2+2x2+3x+1(x3−1)= \frac{-2x^2-2x-2+2x^2+3x+1}{(x^3-1)}
=x−1x3−1=x−1(x−1)(x2+x+1)=1x2+x+1=\frac{x-1}{x^3-1} = \frac{x-1}{(x-1)(x^2+x+1)} = \frac{1}{x^2+x+1}

3. 最終的な答え

1x2+x+1\frac{1}{x^2+x+1}

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