与えられた11個の分数について、分母を有理化する問題です。

## 解答

1. 問題の内容

与えられた11個の分数について、分母を有理化する問題です。

2. 解き方の手順

各問題について、分母を有理化する手順を説明します。

(1) $\frac{1}{\sqrt{2}}$

分母分子に $\sqrt{2}$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

(2) $\frac{3}{2\sqrt{3}}$

分母分子に $\sqrt{3}$ をかけます。

$\frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{3 \times \sqrt{3}}{2\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \times 3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

(3) $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

分母分子に $\sqrt{2}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{2}$

(4) $\frac{6}{\sqrt{6}}$

分母分子に $\sqrt{6}$ をかけます。

$\frac{6}{\sqrt{6}} = \frac{6 \times \sqrt{6}}{\sqrt{6} \times \sqrt{6}} = \frac{6\sqrt{6}}{6} = \sqrt{6}$

(5) $\frac{72}{\sqrt{18}}$

$\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}$ なので

$\frac{72}{\sqrt{18}} = \frac{72}{3\sqrt{2}} = \frac{24}{\sqrt{2}}$

さらに分母分子に $\sqrt{2}$ をかけます。

$\frac{24}{\sqrt{2}} = \frac{24\sqrt{2}}{2} = 12\sqrt{2}$

(6) $\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$

分母分子に $\sqrt{3}-\sqrt{2}$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})} = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2} = \sqrt{3}-\sqrt{2}$

(7) $\frac{2}{\sqrt{3}-1}$

分母分子に $\sqrt{3}+1$ をかけます。

$\frac{2}{\sqrt{3}-1} = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{3-1} = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{2} = \sqrt{3}+1$

(8) $\frac{9}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}$

分母分子に $\sqrt{5}-\sqrt{2}$ をかけます。

$\frac{9}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} = \frac{9(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{(\sqrt{5}+\sqrt{2})(\sqrt{5}-\sqrt{2})} = \frac{9(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{5-2} = \frac{9(\sqrt{5}-\sqrt{2})}{3} = 3(\sqrt{5}-\sqrt{2}) = 3\sqrt{5}-3\sqrt{2}$

(9) $\frac{-4}{1-\sqrt{5}}$

分母分子に $1+\sqrt{5}$ をかけます。

$\frac{-4}{1-\sqrt{5}} = \frac{-4(1+\sqrt{5})}{(1-\sqrt{5})(1+\sqrt{5})} = \frac{-4(1+\sqrt{5})}{1-5} = \frac{-4(1+\sqrt{5})}{-4} = 1+\sqrt{5}$

(10) $\frac{25}{3\sqrt{5}+2\sqrt{10}}$

分母分子に $3\sqrt{5}-2\sqrt{10}$ をかけます。

$\frac{25}{3\sqrt{5}+2\sqrt{10}} = \frac{25(3\sqrt{5}-2\sqrt{10})}{(3\sqrt{5}+2\sqrt{10})(3\sqrt{5}-2\sqrt{10})} = \frac{25(3\sqrt{5}-2\sqrt{10})}{45-40} = \frac{25(3\sqrt{5}-2\sqrt{10})}{5} = 5(3\sqrt{5}-2\sqrt{10}) = 15\sqrt{5}-10\sqrt{10}$

(11) $\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}-\sqrt{2}}$

分母分子に $(\sqrt{5}+\sqrt{3})+\sqrt{2}$ をかけます。

まず、分母を $(\sqrt{5}+\sqrt{3})-\sqrt{2}$ とみて、$(\sqrt{5}+\sqrt{3})+\sqrt{2}$ をかけることを考えます。すると、

$(\sqrt{5}+\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{5}+\sqrt{3}+\sqrt{2}) = (\sqrt{5}+\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2 = (5+2\sqrt{15}+3) - 2 = 6+2\sqrt{15}$

$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}-\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}+\sqrt{2}}{6+2\sqrt{15}}$

次に分母分子に $6-2\sqrt{15}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}+\sqrt{2}}{6+2\sqrt{15}} = \frac{(\sqrt{5}+\sqrt{3}+\sqrt{2})(6-2\sqrt{15})}{(6+2\sqrt{15})(6-2\sqrt{15})} = \frac{(\sqrt{5}+\sqrt{3}+\sqrt{2})(6-2\sqrt{15})}{36-60} = \frac{(\sqrt{5}+\sqrt{3}+\sqrt{2})(6-2\sqrt{15})}{-24}$

$= \frac{6\sqrt{5}+6\sqrt{3}+6\sqrt{2}-2\sqrt{75}-2\sqrt{45}-2\sqrt{30}}{-24} = \frac{6\sqrt{5}+6\sqrt{3}+6\sqrt{2}-10\sqrt{3}-6\sqrt{5}-2\sqrt{30}}{-24} = \frac{-4\sqrt{3}+6\sqrt{2}-2\sqrt{30}}{-24} = \frac{2\sqrt{3}-3\sqrt{2}+\sqrt{30}}{12}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\sqrt{2}}{2}$

(2) $\frac{\sqrt{3}}{2}$

(3) $\frac{\sqrt{6}}{2}$

(4) $\sqrt{6}$

(5) $12\sqrt{2}$

(6) $\sqrt{3}-\sqrt{2}$

(7) $\sqrt{3}+1$

(8) $3\sqrt{5}-3\sqrt{2}$

(9) $1+\sqrt{5}$

(10) $15\sqrt{5}-10\sqrt{10}$

(11) $\frac{2\sqrt{3}-3\sqrt{2}+\sqrt{30}}{12}$