与えられた25個の式をそれぞれ因数分解する問題です。

以下に、与えられた問題の因数分解の解法を示します。

1. 問題の内容

与えられた25個の式をそれぞれ因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

それぞれの式に対して、適切な因数分解の手法を適用します。

以下に、各問題の解答と解き方の簡単な説明を示します。

(1) $x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)$ （二乗の差）

(2) $x^2 - 8x + 16 = (x-4)^2$ （完全平方式）

(3) $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$ （三乗の和）

(4) $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$ （三乗の差）

(5) $a(x+y) - b(x+y) = (x+y)(a-b)$ （共通因数でくくる）

(6) $x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1)$ （二次式の因数分解）

(7) $x^3 - 27 = x^3 - 3^3 = (x-3)(x^2 + 3x + 9)$ （三乗の差）

(8) $2x^2 - 5xy + 2y^2 = (2x-y)(x-2y)$ （二次式の因数分解）

(9) $x^4 - 16 = (x^2 - 4)(x^2 + 4) = (x-2)(x+2)(x^2 + 4)$ （二乗の差）

(10) $x^6 - 64 = (x^3)^2 - 8^2 = (x^3 - 8)(x^3 + 8) = (x-2)(x^2 + 2x + 4)(x+2)(x^2 - 2x + 4)$ （二乗の差と三乗の和/差）

(11) $x^2 - xy - x + y = x(x-y) - (x-y) = (x-y)(x-1)$ （共通因数でくくる）

(12) $ab + a^2 = a(b+a) = a(a+b)$ （共通因数でくくる）

(13) $a^3 + 8b^3 = a^3 + (2b)^3 = (a+2b)(a^2 - 2ab + 4b^2)$ （三乗の和）

(14) $27a^3 - 8b^3 = (3a)^3 - (2b)^3 = (3a-2b)(9a^2 + 6ab + 4b^2)$ （三乗の差）

(15) $a^2 - b^2 + a + b = (a-b)(a+b) + (a+b) = (a+b)(a-b+1)$ （二乗の差と共通因数でくくる）

(16) $x^3 - y^3 + x - y = (x-y)(x^2 + xy + y^2) + (x-y) = (x-y)(x^2 + xy + y^2 + 1)$ （三乗の差と共通因数でくくる）

(17) $x^4 - y^4 + x^2 - y^2 = (x^2 - y^2)(x^2 + y^2) + (x^2 - y^2) = (x^2 - y^2)(x^2 + y^2 + 1) = (x-y)(x+y)(x^2 + y^2 + 1)$ （二乗の差と共通因数でくくる）

(18) $81p^4 - 16q^4 = (9p^2 - 4q^2)(9p^2 + 4q^2) = (3p - 2q)(3p + 2q)(9p^2 + 4q^2)$ （二乗の差）

(19) $x^4 - 2x^2 + 1 = (x^2 - 1)^2 = (x-1)^2(x+1)^2$ （完全平方式と二乗の差）

(20) $x^6 - 2x^3 + 1 = (x^3 - 1)^2 = ((x-1)(x^2 + x + 1))^2 = (x-1)^2(x^2+x+1)^2$

(21) $a^2 + ab + ac + bc = a(a+b) + c(a+b) = (a+b)(a+c)$ （共通因数でくくる）

(22) $z^4 + 4 = (z^4 + 4z^2 + 4) - 4z^2 = (z^2 + 2)^2 - (2z)^2 = (z^2 + 2z + 2)(z^2 - 2z + 2)$

(23) $x^4 + 64 = (x^4 + 16x^2 + 64) - 16x^2 = (x^2+8)^2 - (4x)^2 = (x^2 + 4x + 8)(x^2 - 4x + 8)$

(24) $9k^2 - 36y^2 = 9(k^2 - 4y^2) = 9(k-2y)(k+2y)$ （共通因数と二乗の差）

(25) $216a^3 + 343b^3 = (6a)^3 + (7b)^3 = (6a+7b)(36a^2 - 42ab + 49b^2)$ （三乗の和）

3. 最終的な答え

(1) $(x+y)(x-y)$

(2) $(x-4)^2$

(3) $(x+y)(x^2 - xy + y^2)$

(4) $(x-y)(x^2 + xy + y^2)$

(5) $(x+y)(a-b)$

(6) $(x-2)(x+1)$

(7) $(x-3)(x^2 + 3x + 9)$

(8) $(2x-y)(x-2y)$

(9) $(x-2)(x+2)(x^2 + 4)$

(10) $(x-2)(x^2 + 2x + 4)(x+2)(x^2 - 2x + 4)$

(11) $(x-y)(x-1)$

(12) $a(a+b)$

(13) $(a+2b)(a^2 - 2ab + 4b^2)$

(14) $(3a-2b)(9a^2 + 6ab + 4b^2)$

(15) $(a+b)(a-b+1)$

(16) $(x-y)(x^2 + xy + y^2 + 1)$

(17) $(x-y)(x+y)(x^2 + y^2 + 1)$

(18) $(3p - 2q)(3p + 2q)(9p^2 + 4q^2)$

(19) $(x-1)^2(x+1)^2$

(20) $(x-1)^2(x^2+x+1)^2$

(21) $(a+b)(a+c)$

(22) $(z^2 + 2z + 2)(z^2 - 2z + 2)$

(23) $(x^2 + 4x + 8)(x^2 - 4x + 8)$

(24) $9(k-2y)(k+2y)$

(25) $(6a+7b)(36a^2 - 42ab + 49b^2)$