二項定理 $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} {}_nC_k a^{n-k} b^k$ を利用して、${}_nC_0 + {}_nC_1 + {}_nC_2 + \dots + {}_nC_n$ の値を求め、その結果が6となるような$n$を求め、選択肢から適切な答えを選ぶ問題です。

1. 問題の内容

二項定理 $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} {}_nC_k a^{n-k} b^k$ を利用して、${}_nC_0 + {}_nC_1 + {}_nC_2 + \dots + {}_nC_n$ の値を求め、その結果が6となるような$n$を求め、選択肢から適切な答えを選ぶ問題です。

2. 解き方の手順

まず、二項定理において、$a=1, b=1$ とすると、

$$(1+1)^n = \sum_{k=0}^{n} {}_nC_k 1^{n-k} 1^k = \sum_{k=0}^{n} {}_nC_k = {}_nC_0 + {}_nC_1 + {}_nC_2 + \dots + {}_nC_n$$

したがって、

$$2^n = {}_nC_0 + {}_nC_1 + {}_nC_2 + \dots + {}_nC_n$$

問題文より、${}_nC_0 + {}_nC_1 + {}_nC_2 + \dots + {}_nC_n = 6$ であるから、

$2^n = 6$ を満たす $n$ を探します。

選択肢にある数値を当てはめてみます。

① $(-2)^n = 6$ は、$n$が整数ではないため不適です。

② $-1 = 6$ は明らかに不適です。

③ $1 = 6$ は明らかに不適です。

④ $2^n = 6$ は、$n$を整数としたときに解が存在しません。問題に誤りがある可能性があります。しかし、最も近い選択肢を選ぶとすれば、$2^n=4$の時、$n=2$なので、④の$2^n$が最も近いと考えられます。

ただし、問題文に誤りがある可能性があるので、その点について注意が必要です。正しくは${}_nC_0 + {}_nC_1 + {}_nC_2 + \dots + {}_nC_n = 8$であれば、$2^n=8$となり、$n=3$となります。

3. 最終的な答え

問題文に誤りがある可能性があり、正確な解答は得られません。しかし、最も近い選択肢を選ぶとすれば、④ $2^n$ が考えられます。

もし問題文が ${}_nC_0 + {}_nC_1 + {}_nC_2 + \dots + {}_nC_n = 2^n$ を求める問題で、$2^n=6$に近いものを探す問題であれば、$n=2$のときに$2^2=4$、$n=3$のときに$2^3=8$なので、$n=3$のときに8という値を取り、最も近い選択肢を選べと言われたら、④が正解に近いと考えられます。