$a > 0$, $b > 0$のとき、不等式 $(a + \frac{2}{b})(b + \frac{8}{a}) \geq 18$ を証明し、等号が成り立つ場合を調べる。

1. 問題の内容

$a > 0$, $b > 0$のとき、不等式 $(a + \frac{2}{b})(b + \frac{8}{a}) \geq 18$ を証明し、等号が成り立つ場合を調べる。

2. 解き方の手順

まず、式を展開する。

$(a + \frac{2}{b})(b + \frac{8}{a}) = ab + 8 + 2 + \frac{16}{ab} = ab + \frac{16}{ab} + 10$

ここで、$ab > 0$であるから、相加平均・相乗平均の関係より

$ab + \frac{16}{ab} \geq 2\sqrt{ab \cdot \frac{16}{ab}} = 2\sqrt{16} = 2 \cdot 4 = 8$

したがって、

$ab + \frac{16}{ab} + 10 \geq 8 + 10 = 18$

よって、$(a + \frac{2}{b})(b + \frac{8}{a}) \geq 18$ が成り立つ。

等号が成り立つのは、$ab = \frac{16}{ab}$ のときである。

$ab = \frac{16}{ab}$より、 $(ab)^2 = 16$

$ab>0$より、$ab = 4$

3. 最終的な答え

$(a + \frac{2}{b})(b + \frac{8}{a}) \geq 18$ が成り立つ。等号が成り立つのは、$ab=4$ のとき。