二項定理 $(a+b)^n = {}_nC_0 a^n + {}_nC_1 a^{n-1}b + {}_nC_2 a^{n-2}b^2 + \dots + {}_nC_r a^{n-r}b^r + \dots + {}_nC_n b^n$ を用いて、${}_nC_0 + {}_nC_1 + {}_nC_2 + \dots + {}_nC_r + \dots + {}_nC_n$ の和を求める問題です。選択肢の中から正しい答えを選びます。

1. 問題の内容

二項定理 $(a+b)^n = {}_nC_0 a^n + {}_nC_1 a^{n-1}b + {}_nC_2 a^{n-2}b^2 + \dots + {}_nC_r a^{n-r}b^r + \dots + {}_nC_n b^n$ を用いて、${}_nC_0 + {}_nC_1 + {}_nC_2 + \dots + {}_nC_r + \dots + {}_nC_n$ の和を求める問題です。選択肢の中から正しい答えを選びます。

2. 解き方の手順

与えられた二項定理の式 $(a+b)^n = {}_nC_0 a^n + {}_nC_1 a^{n-1}b + {}_nC_2 a^{n-2}b^2 + \dots + {}_nC_r a^{n-r}b^r + \dots + {}_nC_n b^n$ を利用します。

$a=1$ かつ $b=1$ を代入すると、

$(1+1)^n = {}_nC_0 (1)^n + {}_nC_1 (1)^{n-1}(1) + {}_nC_2 (1)^{n-2}(1)^2 + \dots + {}_nC_r (1)^{n-r}(1)^r + \dots + {}_nC_n (1)^n$

$2^n = {}_nC_0 + {}_nC_1 + {}_nC_2 + \dots + {}_nC_r + \dots + {}_nC_n$

したがって、${}_nC_0 + {}_nC_1 + {}_nC_2 + \dots + {}_nC_n = 2^n$ となります。

3. 最終的な答え

$2^n$

選択肢④