曲線 $y = x^3 - 4x$ と、その曲線上の点 $(1, -3)$ における接線とで囲まれた部分の面積を求める。

1. 問題の内容

曲線 $y = x^3 - 4x$ と、その曲線上の点 $(1, -3)$ における接線とで囲まれた部分の面積を求める。

2. 解き方の手順

まず、曲線 $y = x^3 - 4x$ の点 $(1, -3)$ における接線を求める。

$y' = 3x^2 - 4$ であるから、点 $(1, -3)$ における接線の傾きは $y'(1) = 3(1)^2 - 4 = -1$ である。

よって、接線の方程式は $y - (-3) = -1(x - 1)$ となり、$y = -x - 2$ である。

次に、曲線 $y = x^3 - 4x$ と接線 $y = -x - 2$ の交点を求める。

$x^3 - 4x = -x - 2$ より $x^3 - 3x + 2 = 0$ となる。

$(x - 1)^2(x + 2) = 0$ であるから、$x = 1$ (重解) および $x = -2$ となる。

したがって、交点の $x$ 座標は $x = 1$ および $x = -2$ である。

最後に、囲まれた部分の面積 $S$ を求める。

$S = \int_{-2}^{1} \{ (x^3 - 4x) - (-x - 2) \} dx = \int_{-2}^{1} (x^3 - 3x + 2) dx$

$S = \left[ \frac{1}{4}x^4 - \frac{3}{2}x^2 + 2x \right]_{-2}^{1} = \left( \frac{1}{4} - \frac{3}{2} + 2 \right) - \left( \frac{1}{4}(16) - \frac{3}{2}(4) + 2(-2) \right)$

$S = \left( \frac{1}{4} - \frac{6}{4} + \frac{8}{4} \right) - \left( 4 - 6 - 4 \right) = \frac{3}{4} - (-6) = \frac{3}{4} + 6 = \frac{3}{4} + \frac{24}{4} = \frac{27}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{27}{4}$