関数 $f(x) = x^3 + 3ax^2 - ax - 1$ がすべての実数の範囲で単調に増加するように、定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^3 + 3ax^2 - ax - 1$ がすべての実数の範囲で単調に増加するように、定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

関数 $f(x)$ がすべての実数で単調に増加するためには、その導関数 $f'(x)$ が常に0以上であることが必要です。まず、$f'(x)$ を計算します。

$f'(x) = 3x^2 + 6ax - a$

$f(x)$ が単調増加であるためには、$f'(x) \ge 0$ がすべての実数 $x$ について成り立つ必要があります。これは、$f'(x)$ が下に凸な放物線であることから、$f'(x)=0$ が実数解を持たないか、または重解を持つ場合に相当します。つまり、$f'(x)=0$ の判別式 $D$ が $D \le 0$ となればよいです。

$f'(x) = 3x^2 + 6ax - a = 0$ の判別式 $D$ は、

$D = (6a)^2 - 4(3)(-a) = 36a^2 + 12a$

$D \le 0$ より、

$36a^2 + 12a \le 0$

$12a(3a + 1) \le 0$

$a(3a + 1) \le 0$

この不等式を解くと、$-\frac{1}{3} \le a \le 0$ となります。

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{3} \le a \le 0$