画像には、関数 $f(a)$ が $x$ に依存しない定数であるとき、$\lim_{x \to a} f(a) = f(a)$ となることが書かれています。そして、この意味について質問がされています。また、$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ ではないかという疑問が提示されています。

1. 問題の内容

画像には、関数 $f(a)$ が $x$ に依存しない定数であるとき、$\lim_{x \to a} f(a) = f(a)$ となることが書かれています。そして、この意味について質問がされています。また、$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ ではないかという疑問が提示されています。

2. 解き方の手順

まず、$f(a)$ が $x$ に依存しない定数であるという前提を確認します。これは、関数 $f$ の値が、変数 $x$ の値に関わらず常に $a$ で評価された値 $f(a)$ に等しいことを意味します。

次に、$\lim_{x \to a} f(a)$ について考えます。$f(a)$ は定数なので、$x$ が $a$ に近づいても $f(a)$ の値は変化しません。したがって、極限は単にその定数の値になります。

一方、$\lim_{x \to a} f(x)$ を考える場合、$f(x)$ が $x$ の関数である必要があります。しかし、画像では $f(a)$ が定数であることが前提となっているため、$f(x)$ は $f(a)$ と同じ定数関数であると解釈できます。つまり、 $f(x) = f(a)$ ということです。

したがって、$\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} f(a) = f(a)$ となります。

$\lim_{x \to a} f(x)$ と書く方が一般的ですが、この場合は $f(x) = f(a)$ という定数関数なので、どちらで表現しても同じ意味になります。

3. 最終的な答え

$f(a)$ が $x$ に依存しない定数である場合、$\lim_{x \to a} f(a) = f(a)$ は正しい表現です。これは、$x$ が $a$ に近づいても $f(a)$ の値は変化しないため、極限はその定数の値に等しくなるからです。$\lim_{x \to a} f(x)$ と書くことも可能ですが、この場合、$f(x)$ は $f(a)$ と同じ定数関数であると解釈します。つまり、どちらの表現も同じ意味を持ちます。