関数 $y = e^{-ax} \tan(bx+c)$ を微分しなさい。ここで、$a, b, c$ は定数です。

1. 問題の内容

関数 $y = e^{-ax} \tan(bx+c)$ を微分しなさい。ここで、$a, b, c$ は定数です。

2. 解き方の手順

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を使います。ここで、$u = e^{-ax}$ と $v = \tan(bx+c)$ とします。

まず、$u = e^{-ax}$ の微分を求めます。

$u' = \frac{d}{dx} e^{-ax} = -a e^{-ax}$

次に、$v = \tan(bx+c)$ の微分を求めます。

$v' = \frac{d}{dx} \tan(bx+c) = \frac{b}{\cos^2(bx+c)} = b\sec^2(bx+c)$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = u'v + uv' = (-a e^{-ax}) \tan(bx+c) + e^{-ax} (b\sec^2(bx+c))$

$\frac{dy}{dx} = -a e^{-ax} \tan(bx+c) + b e^{-ax} \sec^2(bx+c)$

$e^{-ax}$でくくると

$\frac{dy}{dx} = e^{-ax}(-a\tan(bx+c) + b\sec^2(bx+c))$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = e^{-ax}(-a\tan(bx+c) + b\sec^2(bx+c))$