自然対数の底の定義 $ \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n = e $ を用いて、極限 $ \lim_{n \to \infty} (1 - \frac{1}{n})^n $ を求める。

1. 問題の内容

自然対数の底の定義 $\lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^n = e$ を用いて、極限 $\lim_{n \to \infty} (1 - \frac{1}{n})^n$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、$(1 - \frac{1}{n})^n$ を変形して、自然対数の底の定義を利用できるようにする。

$(1 - \frac{1}{n})^n = (1 + \frac{-1}{n})^n$ と書き換える。

ここで、$m = -n$ と置くと、$n \to \infty$ のとき $m \to -\infty$ である。

$\lim_{n \to \infty} (1 - \frac{1}{n})^n = \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{-1}{n})^n = \lim_{m \to -\infty} (1 + \frac{1}{m})^{-m}$ となる。

$\lim_{m \to -\infty} (1 + \frac{1}{m})^{-m} = \lim_{m \to -\infty} ((1 + \frac{1}{m})^m)^{-1}$ と変形できる。

$\lim_{m \to -\infty} (1 + \frac{1}{m})^m = e$ であるから、

$\lim_{m \to -\infty} ((1 + \frac{1}{m})^m)^{-1} = e^{-1} = \frac{1}{e}$ となる。

または、別の方法として、$x = -n$ と置くと、$n \to \infty$ のとき $x \to -\infty$。

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\lim_{n \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^n = \lim_{x \to -\infty} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^{-x} = \lim_{x \to -\infty} \left[ \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^{x} \right]^{-1}

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ここで、$x \to -\infty$ のとき $\left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x \to e$ であるから

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\lim_{x \to -\infty} \left[ \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^{x} \right]^{-1} = e^{-1} = \frac{1}{e}

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3. 最終的な答え

$\frac{1}{e}$