関数 $y = e^{2x} \sin x$ の導関数 $y'$ を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = e^{2x} \sin x$ の導関数 $y'$ を求めよ。

2. 解き方の手順

積の微分法を用いる。積の微分法は、2つの関数 $u(x)$ と $v(x)$ の積の微分が

$\frac{d}{dx} [u(x)v(x)] = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$

で与えられるというものである。

この問題では、$u(x) = e^{2x}$、$v(x) = \sin x$ とおくと、

$u'(x) = 2e^{2x}$

$v'(x) = \cos x$

となる。したがって、

$y' = \frac{d}{dx} (e^{2x} \sin x) = (2e^{2x}) \sin x + e^{2x} (\cos x) = 2e^{2x} \sin x + e^{2x} \cos x$

3. 最終的な答え

$y' = 2e^{2x} \sin x + e^{2x} \cos x = e^{2x}(2\sin x + \cos x)$