関数 $y = \frac{x}{\tan x}$ の導関数 $y'$ を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{x}{\tan x}$ の導関数 $y'$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y = \frac{x}{\tan x}$ の導関数を求めるために、商の微分公式を適用します。

商の微分公式は、関数 $y = \frac{u(x)}{v(x)}$ に対して、$y' = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2}$ で与えられます。

ここで、$u(x) = x$ と $v(x) = \tan x$ とおきます。

すると、$u'(x) = 1$ となります。

また、$v(x) = \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ なので、$v'(x) = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$となります。

したがって、商の微分公式より、

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y' = \frac{(x)' \tan x - x (\tan x)'}{(\tan x)^2} = \frac{1 \cdot \tan x - x \cdot \sec^2 x}{\tan^2 x} = \frac{\tan x - x \sec^2 x}{\tan^2 x}

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さらに、$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ および $\sec x = \frac{1}{\cos x}$ であるから、

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y' = \frac{\frac{\sin x}{\cos x} - x \frac{1}{\cos^2 x}}{\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}} = \frac{\frac{\sin x \cos x - x}{\cos^2 x}}{\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}} = \frac{\sin x \cos x - x}{\sin^2 x}

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3. 最終的な答え

$y' = \frac{\sin x \cos x - x}{\sin^2 x}$

あるいは

$y' = \frac{\tan x - x \sec^2 x}{\tan^2 x}$