関数 $f(x)$ が与えられています。 $f(x) = \begin{cases} (x-a)^2 & x \geq 0 \\ x+4 & x < 0 \end{cases}$ $f(x)$ が $x=0$ で連続となるように定数 $a$ の値を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が与えられています。

$f(x) = \begin{cases} (x-a)^2 & x \geq 0 \\ x+4 & x < 0 \end{cases}$

$f(x)$ が $x=0$ で連続となるように定数 $a$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

関数 $f(x)$ が $x=0$ で連続であるためには、以下の条件を満たす必要があります。

(1) $f(0)$ が定義されている。

(2) $\lim_{x \to 0} f(x)$ が存在する。

(3) $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$

まず、$f(0)$ を計算します。

$f(0) = (0 - a)^2 = a^2$

次に、左極限と右極限を計算します。

左極限：$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (x+4) = 0+4 = 4$

右極限：$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x-a)^2 = (0-a)^2 = a^2$

$x=0$ での連続性の条件から、左極限と右極限が一致する必要があります。

$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x)$

$4 = a^2$

$a^2 = 4$ を解いて、$a$ を求めます。

$a = \pm 2$

最後に、$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ が成り立つか確認します。

$\lim_{x \to 0} f(x) = 4$

$f(0) = a^2 = 4$

よって、$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$a = 2, -2$