与えられた関数を微分せよ。 (1) $y = 2\cos x + 3x$ (2) $y = \sin(3x+2)$ (3) $y = \sin^4 x$ (5) $y = \frac{2}{\tan x}$ (6) $y = 2x \sin 2x$ (9) $y = \frac{x}{\cos^2 x}$ (10) $y = \frac{\sin x}{1 + \cos x}$

はい、承知いたしました。画像にある微分問題のうち、(1), (2), (3), (5), (6), (9), (10) を解きます。

1. 問題の内容

与えられた関数を微分せよ。

(1) $y = 2\cos x + 3x$

(2) $y = \sin(3x+2)$

(3) $y = \sin^4 x$

(5) $y = \frac{2}{\tan x}$

(6) $y = 2x \sin 2x$

(9) $y = \frac{x}{\cos^2 x}$

(10) $y = \frac{\sin x}{1 + \cos x}$

2. 解き方の手順

(1) $y = 2\cos x + 3x$ の微分

$y' = 2(-\sin x) + 3 = -2\sin x + 3$

(2) $y = \sin(3x+2)$ の微分

$y' = \cos(3x+2) \cdot (3x+2)' = \cos(3x+2) \cdot 3 = 3\cos(3x+2)$

(3) $y = \sin^4 x$ の微分

$y' = 4\sin^3 x \cdot (\sin x)' = 4\sin^3 x \cos x$

(5) $y = \frac{2}{\tan x}$ の微分

$y = 2\cot x$ と書き換えられる。

$y' = 2(-\csc^2 x) = -2\csc^2 x = -\frac{2}{\sin^2 x}$

または、積の微分を使用する。

$y' = 2 (\tan x)^{-1} = 2 (-1) (\tan x)^{-2} (\tan x)'= \frac{-2}{(\tan x)^{2}} \frac{1}{\cos^2 x}= \frac{-2 \cos^2 x}{\sin^2 x}\frac{1}{\cos^2 x} = \frac{-2}{\sin^2 x}$

(6) $y = 2x \sin 2x$ の微分

$y' = (2x)' \sin 2x + 2x (\sin 2x)' = 2\sin 2x + 2x (\cos 2x \cdot 2) = 2\sin 2x + 4x\cos 2x$

(9) $y = \frac{x}{\cos^2 x}$ の微分

商の微分公式を使用する。

$y' = \frac{(x)'\cos^2 x - x (\cos^2 x)'}{(\cos^2 x)^2} = \frac{\cos^2 x - x (2\cos x (-\sin x))}{\cos^4 x} = \frac{\cos^2 x + 2x \cos x \sin x}{\cos^4 x} = \frac{\cos x + 2x \sin x}{\cos^3 x}$

(10) $y = \frac{\sin x}{1 + \cos x}$ の微分

商の微分公式を使用する。

$y' = \frac{(\sin x)'(1 + \cos x) - \sin x (1 + \cos x)'}{(1 + \cos x)^2} = \frac{\cos x (1 + \cos x) - \sin x (-\sin x)}{(1 + \cos x)^2} = \frac{\cos x + \cos^2 x + \sin^2 x}{(1 + \cos x)^2} = \frac{\cos x + 1}{(1 + \cos x)^2} = \frac{1}{1 + \cos x}$

3. 最終的な答え

(1) $y' = -2\sin x + 3$

(2) $y' = 3\cos(3x+2)$

(3) $y' = 4\sin^3 x \cos x$

(5) $y' = -\frac{2}{\sin^2 x}$

(6) $y' = 2\sin 2x + 4x\cos 2x$

(9) $y' = \frac{\cos x + 2x \sin x}{\cos^3 x}$

(10) $y' = \frac{1}{1 + \cos x}$