(a) 関数 $f(x) = \cos(2x)$ のマクローリン展開（$x=0$ でのテイラー展開）を、4次の項まで求め、5次以降の項は $R$ または $Rx^5$ などと記述する。（剰余項は求めなくてよい） (b) $\log 1.1$ の近似値を求めなさい。（問題文に誤りがあるため、(a)の結果を利用して求めるものとする。）

1. 問題の内容

(a) 関数 $f(x) = \cos(2x)$ のマクローリン展開（$x=0$ でのテイラー展開）を、4次の項まで求め、5次以降の項は $R$ または $Rx^5$ などと記述する。（剰余項は求めなくてよい）

(b) $\log 1.1$ の近似値を求めなさい。（問題文に誤りがあるため、(a)の結果を利用して求めるものとする。）

2. 解き方の手順

(a)

マクローリン展開は、テイラー展開における $a=0$ の場合であり、以下の式で表されます。

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \frac{f''''(0)}{4!}x^4 + R$

ここで、$R$ は5次以降の項を表します。

まず、$f(x)$ の導関数を計算します。

$f(x) = \cos(2x)$

$f'(x) = -2\sin(2x)$

$f''(x) = -4\cos(2x)$

$f'''(x) = 8\sin(2x)$

$f''''(x) = 16\cos(2x)$

次に、各導関数に $x=0$ を代入します。

$f(0) = \cos(0) = 1$

$f'(0) = -2\sin(0) = 0$

$f''(0) = -4\cos(0) = -4$

$f'''(0) = 8\sin(0) = 0$

$f''''(0) = 16\cos(0) = 16$

これらの値をマクローリン展開の式に代入します。

$f(x) = 1 + 0x + \frac{-4}{2}x^2 + \frac{0}{6}x^3 + \frac{16}{24}x^4 + R$

$f(x) = 1 - 2x^2 + \frac{2}{3}x^4 + R$

(b)

問題文に「(問1(b)を利用)」とありますが、(a)の結果を用いると解釈し、$f(x) = \cos(2x) \approx 1 - 2x^2 + \frac{2}{3}x^4$ を用います。

$\log 1.1$ の近似値を求めるために、$\cos$ 関数と $\log$ 関数の関係を考える必要があります。ここでは直接的な関係が見当たらないため、問題に誤りがある可能性が高いです。代わりに、(a) で求めた$\cos(2x)$のマクローリン展開を利用して近似的に解くことを試みます。

ここで、$e^x \approx 1+x$ という近似式を用いると、$\log(1+x) \approx x$ が得られます。$\log 1.1 = \log(1+0.1) \approx 0.1$ となります。

しかしながら、問題文に従い(a)の結果を使うことを考えると、$\log$の近似を$\cos$の近似で直接的に求めるのは困難です。

3. 最終的な答え

(a) $f(x) = 1 - 2x^2 + \frac{2}{3}x^4 + R$

(b) 0.1