与えられた3つの関数をそれぞれ微分する問題です。 (1) $y = 2\cos{x} + 3x$ (2) $y = \sin{(3x + 2)}$ (3) $y = \sin^4{x}$

1. 問題の内容

与えられた3つの関数をそれぞれ微分する問題です。

(1) $y = 2\cos{x} + 3x$

(2) $y = \sin{(3x + 2)}$

(3) $y = \sin^4{x}$

2. 解き方の手順

(1) $y = 2\cos{x} + 3x$ の微分

$\cos{x}$ の微分は $-\sin{x}$、 $3x$ の微分は 3 です。したがって、

$y' = 2(-\sin{x}) + 3 = -2\sin{x} + 3$

(2) $y = \sin{(3x + 2)}$ の微分

$\sin{u}$ の微分は $\cos{u}$ であり、連鎖律より、$3x + 2$ の微分である 3 を掛ける必要があります。

$y' = \cos{(3x + 2)} \cdot 3 = 3\cos{(3x + 2)}$

(3) $y = \sin^4{x}$ の微分

$y = (\sin{x})^4$と見て、合成関数の微分を適用します。 $u = \sin{x}$ とおくと、$y = u^4$ です。

$\frac{dy}{du} = 4u^3$ であり、$\frac{du}{dx} = \cos{x}$ です。

よって、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 4u^3 \cdot \cos{x} = 4\sin^3{x}\cos{x}$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $y' = -2\sin{x} + 3$

(2) $y' = 3\cos{(3x + 2)}$

(3) $y' = 4\sin^3{x}\cos{x}$