$\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x) - x + \frac{x^2}{2}}{x^3}$ をマクローリン展開を用いて求める問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x) - x + \frac{x^2}{2}}{x^3}$ をマクローリン展開を用いて求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\log(1+x)$ のマクローリン展開を求めます。

$\log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots$

この展開を元の式に代入すると、

$\frac{\log(1+x) - x + \frac{x^2}{2}}{x^3} = \frac{(x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots) - x + \frac{x^2}{2}}{x^3}$

整理すると、

$\frac{\frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots}{x^3} = \frac{x^3(\frac{1}{3} - \frac{x}{4} + \dots)}{x^3} = \frac{1}{3} - \frac{x}{4} + \dots$

ここで、$x \to 0$ の極限を考えると、

$\lim_{x \to 0} (\frac{1}{3} - \frac{x}{4} + \dots) = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3}$