$f(x) = \cos 2x$ のマクローリン展開（$x=0$ でのテイラー展開）を4次の項まで求める問題です。剰余項は求めなくてよく、5次以降については、$R$ や $Rx^5$ などと記述すればよいです。

1. 問題の内容

$f(x) = \cos 2x$ のマクローリン展開（$x=0$ でのテイラー展開）を4次の項まで求める問題です。剰余項は求めなくてよく、5次以降については、$R$ や $Rx^5$ などと記述すればよいです。

2. 解き方の手順

マクローリン展開は、関数 $f(x)$ の $x=0$ におけるテイラー展開であり、以下の式で与えられます。

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \frac{f''''(0)}{4!}x^4 + \cdots$

まず、$f(x) = \cos 2x$ の導関数を求めます。

$f(x) = \cos 2x$

$f'(x) = -2\sin 2x$

$f''(x) = -4\cos 2x$

$f'''(x) = 8\sin 2x$

$f''''(x) = 16\cos 2x$

次に、$x=0$ におけるこれらの導関数の値を求めます。

$f(0) = \cos(0) = 1$

$f'(0) = -2\sin(0) = 0$

$f''(0) = -4\cos(0) = -4$

$f'''(0) = 8\sin(0) = 0$

$f''''(0) = 16\cos(0) = 16$

これらの値をマクローリン展開の式に代入します。

$f(x) = 1 + 0x + \frac{-4}{2!}x^2 + \frac{0}{3!}x^3 + \frac{16}{4!}x^4 + \cdots$

$f(x) = 1 - 2x^2 + \frac{2}{3}x^4 + R$

3. 最終的な答え

$f(x) = 1 - 2x^2 + \frac{2}{3}x^4 + R$