実数 $x$ に対して、$n \leq x < n+1$ を満たす整数 $n$ を記号 $[x]$ で表す。 (1) 関数 $y = x[x]$ ($0 \leq x < 3$) のグラフをかけ。 (2) $a$ を正の定数とする。曲線 $y = ax^2 + \frac{5}{2}$ と(1)のグラフが相異なる2つの共有点をもつような $a$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

実数 $x$ に対して、$n \leq x < n+1$ を満たす整数 $n$ を記号 $[x]$ で表す。

(1) 関数 $y = x[x]$ ($0 \leq x < 3$) のグラフをかけ。

(2) $a$ を正の定数とする。曲線 $y = ax^2 + \frac{5}{2}$ と(1)のグラフが相異なる2つの共有点をもつような $a$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $y = x[x]$ ($0 \leq x < 3$) のグラフを描く。

区間を分けて考える。

- $0 \leq x < 1$ のとき、$[x] = 0$ であるから、$y = x \cdot 0 = 0$

- $1 \leq x < 2$ のとき、$[x] = 1$ であるから、$y = x \cdot 1 = x$

- $2 \leq x < 3$ のとき、$[x] = 2$ であるから、$y = x \cdot 2 = 2x$

これらの区間でグラフを描く。

(2) $y = ax^2 + \frac{5}{2}$ と $y = x[x]$ のグラフが相異なる2つの共有点を持つための $a$ の範囲を求める。

それぞれの区間ごとに交点の個数を考える。

- $0 \leq x < 1$ のとき、$y=0$と$y=ax^2+\frac{5}{2}$ の交点は、$ax^2 + \frac{5}{2} = 0$ を満たす$x$である。$a>0$より、この区間には交点を持たない。

- $1 \leq x < 2$ のとき、$y = x$ と $y = ax^2 + \frac{5}{2}$ の交点を考える。

$ax^2 - x + \frac{5}{2} = 0$

この二次方程式が $1 \leq x < 2$ で解を1つ持つ条件を求める。

$f(x) = ax^2 - x + \frac{5}{2}$ とおくと、$f(1) f(2) < 0$ を満たすか、

または判別式 $D > 0$ かつ軸 $1 < \frac{1}{2a} < 2$ かつ $f(1) > 0$ かつ $f(2) > 0$

$f(1) = a - 1 + \frac{5}{2} = a + \frac{3}{2}$

$f(2) = 4a - 2 + \frac{5}{2} = 4a + \frac{1}{2}$

$f(1) f(2) = (a + \frac{3}{2})(4a + \frac{1}{2}) < 0$

$-\frac{3}{2} < a < -\frac{1}{8}$　であるが、$a > 0$を満たさないため、不適。

$D = (-1)^2 - 4 a (\frac{5}{2}) = 1 - 10a > 0$ より $a < \frac{1}{10}$

$1 < \frac{1}{2a} < 2$ より $\frac{1}{4} < a < \frac{1}{2}$

$f(1) = a + \frac{3}{2} > 0$

$f(2) = 4a + \frac{1}{2} > 0$

$\frac{1}{4} < a < \frac{1}{10}$は存在しない。

- $2 \leq x < 3$ のとき、$y = 2x$ と $y = ax^2 + \frac{5}{2}$ の交点を考える。

$ax^2 - 2x + \frac{5}{2} = 0$

$g(x) = ax^2 - 2x + \frac{5}{2}$ とおくと、この二次方程式が $2 \leq x < 3$ で解を1つ持つ条件を求める。

$g(2) g(3) < 0$

$g(2) = 4a - 4 + \frac{5}{2} = 4a - \frac{3}{2}$

$g(3) = 9a - 6 + \frac{5}{2} = 9a - \frac{7}{2}$

$(4a - \frac{3}{2})(9a - \frac{7}{2}) < 0$

$(\frac{3}{8} < a < \frac{7}{18})$

$D = (-2)^2 - 4 a (\frac{5}{2}) = 4 - 10a > 0$ より $a < \frac{2}{5}$

$2 < \frac{2}{2a} < 3$ より $2 < \frac{1}{a} < 3$ より $\frac{1}{3} < a < \frac{1}{2}$

$g(2) = 4a - \frac{3}{2} > 0$

$g(3) = 9a - \frac{7}{2} > 0$

よって、 $\frac{3}{8} < a < \frac{2}{5}$ または $\frac{1}{3} < a < \frac{1}{2}$ が満たされる必要がある。

したがって、求める $a$ の範囲は $\frac{3}{8} < a < \frac{2}{5}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{8} < a < \frac{2}{5}$