関数 $f(a) = \int_{0}^{1} |x^2 - ax| dx$ の最小値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(a) = \int_{0}^{1} |x^2 - ax| dx$ の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 - ax = x(x-a)$であることに注意します。積分範囲は$0 \le x \le 1$なので、$a$の値によって積分を場合分けして考えます。

(1) $a \le 0$ のとき：

$x^2 - ax = x(x-a) \ge 0$ なので、$|x^2 - ax| = x^2 - ax$。

したがって、

$f(a) = \int_{0}^{1} (x^2 - ax) dx = [\frac{1}{3}x^3 - \frac{a}{2}x^2]_{0}^{1} = \frac{1}{3} - \frac{a}{2}$。

$a \le 0$なので、これは単調増加関数です。

(2) $0 < a < 1$ のとき：

$0 \le x \le a$ では、$x^2 - ax \le 0$ なので、$|x^2 - ax| = -(x^2 - ax) = ax - x^2$。

$a \le x \le 1$ では、$x^2 - ax \ge 0$ なので、$|x^2 - ax| = x^2 - ax$。

したがって、

$f(a) = \int_{0}^{a} (ax - x^2) dx + \int_{a}^{1} (x^2 - ax) dx = [ \frac{a}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3]_{0}^{a} + [\frac{1}{3}x^3 - \frac{a}{2}x^2]_{a}^{1} = (\frac{a^3}{2} - \frac{a^3}{3}) + (\frac{1}{3} - \frac{a}{2}) - (\frac{a^3}{3} - \frac{a^3}{2}) = \frac{a^3}{6} + \frac{1}{3} - \frac{a}{2} + \frac{a^3}{6} = \frac{a^3}{3} - \frac{a}{2} + \frac{1}{3}$

$f'(a) = a^2 - \frac{1}{2}$

$f'(a) = 0$ となるのは、$a = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$。

$0 < a < 1$ より、$a = \frac{1}{\sqrt{2}}$。

$f(\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{1}{3}(\frac{1}{\sqrt{2}})^3 - \frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}) + \frac{1}{3} = \frac{1}{6\sqrt{2}} - \frac{1}{2\sqrt{2}} + \frac{1}{3} = \frac{1 - 3}{6\sqrt{2}} + \frac{1}{3} = -\frac{2}{6\sqrt{2}} + \frac{1}{3} = -\frac{1}{3\sqrt{2}} + \frac{1}{3} = \frac{1}{3} - \frac{\sqrt{2}}{6} = \frac{2 - \sqrt{2}}{6}$

(3) $a \ge 1$ のとき：

$x^2 - ax = x(x-a) \le 0$ なので、$|x^2 - ax| = -(x^2 - ax) = ax - x^2$。

したがって、

$f(a) = \int_{0}^{1} (ax - x^2) dx = [\frac{a}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3]_{0}^{1} = \frac{a}{2} - \frac{1}{3}$。

$a \ge 1$ なので、これは単調増加関数です。

$a \le 0$ のとき、$f(0) = \frac{1}{3}$。

$a \ge 1$ のとき、$f(1) = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$。

$f(\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{2 - \sqrt{2}}{6} = \frac{2 - 1.414}{6} \approx \frac{0.586}{6} \approx 0.097$

$\frac{1}{6} \approx 0.167$

$\frac{1}{3} \approx 0.333$

したがって、最小値は $a = \frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき、$f(\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{2 - \sqrt{2}}{6}$。

3. 最終的な答え

$\frac{2 - \sqrt{2}}{6}$