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方程式 $\sin\theta \cos\theta + \sin\theta - \cos\theta = k$ について、$0 \le \theta \le \pi$ における解の個数を、$k$ の値（範囲）によって分類せよ。

解析学三角関数方程式解の個数範囲
2025/4/23

1. 問題の内容

方程式 sin⁡θcos⁡θ+sin⁡θ−cos⁡θ=k\sin\theta \cos\theta + \sin\theta - \cos\theta = k について、0≤θ≤π0 \le \theta \le \pi における解の個数を、kk の値（範囲）によって分類せよ。

2. 解き方の手順

まず、sin⁡θ−cos⁡θ=t\sin\theta - \cos\theta = t とおく。すると、
(sin⁡θ−cos⁡θ)2=t2(\sin\theta - \cos\theta)^2 = t^2
sin⁡2θ−2sin⁡θcos⁡θ+cos⁡2θ=t2\sin^2\theta - 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = t^2
1−2sin⁡θcos⁡θ=t21 - 2\sin\theta\cos\theta = t^2
2sin⁡θcos⁡θ=1−t22\sin\theta\cos\theta = 1 - t^2
sin⁡θcos⁡θ=1−t22\sin\theta\cos\theta = \frac{1 - t^2}{2}
したがって、与えられた方程式は
1−t22+t=k\frac{1 - t^2}{2} + t = k
1−t2+2t=2k1 - t^2 + 2t = 2k
t2−2t+2k−1=0t^2 - 2t + 2k - 1 = 0
t2−2t+1=2−2kt^2 - 2t + 1 = 2 - 2k
(t−1)2=2−2k(t - 1)^2 = 2 - 2k
t−1=±2−2kt - 1 = \pm\sqrt{2 - 2k}
t=1±2−2kt = 1 \pm\sqrt{2 - 2k}
次に、tt の範囲を求める。
t=sin⁡θ−cos⁡θ=2sin⁡(θ−π4)t = \sin\theta - \cos\theta = \sqrt{2}\sin(\theta - \frac{\pi}{4})
0≤θ≤π0 \le \theta \le \pi なので、−π4≤θ−π4≤3π4-\frac{\pi}{4} \le \theta - \frac{\pi}{4} \le \frac{3\pi}{4}
したがって、−12≤sin⁡(θ−π4)≤1-\frac{1}{\sqrt{2}} \le \sin(\theta - \frac{\pi}{4}) \le 1
−12⋅2≤2sin⁡(θ−π4)≤2⋅1-\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{2} \le \sqrt{2}\sin(\theta - \frac{\pi}{4}) \le \sqrt{2} \cdot 1
−1≤t≤2-1 \le t \le \sqrt{2}
t=1±2−2kt = 1 \pm\sqrt{2 - 2k} について、−1≤t≤2-1 \le t \le \sqrt{2} を満たすような kk の範囲を求める。
まず、t=1+2−2kt = 1 + \sqrt{2 - 2k} のとき、
−1≤1+2−2k≤2-1 \le 1 + \sqrt{2 - 2k} \le \sqrt{2}
−2≤2−2k≤2−1-2 \le \sqrt{2 - 2k} \le \sqrt{2} - 1
0≤2−2k≤(2−1)2=2−22+1=3−220 \le 2 - 2k \le (\sqrt{2} - 1)^2 = 2 - 2\sqrt{2} + 1 = 3 - 2\sqrt{2}
−2≤−2k≤1−22-2 \le -2k \le 1 - 2\sqrt{2}
1≥k≥2−121 \ge k \ge \sqrt{2} - \frac{1}{2}
2−12≤k≤1\sqrt{2} - \frac{1}{2} \le k \le 1
次に、t=1−2−2kt = 1 - \sqrt{2 - 2k} のとき、
−1≤1−2−2k≤2-1 \le 1 - \sqrt{2 - 2k} \le \sqrt{2}
−2≤−2−2k≤2−1-2 \le -\sqrt{2 - 2k} \le \sqrt{2} - 1
2≥2−2k≥1−22 \ge \sqrt{2 - 2k} \ge 1 - \sqrt{2}
0≤2−2k≤40 \le 2 - 2k \le 4
2≥2k≥−22 \ge 2k \ge -2
1≥k≥−11 \ge k \ge -1
−1≤k≤1-1 \le k \le 1
場合分けして、θ\theta の個数を考える。
- k<−1k < -1: 解なし
- k=−1k = -1: t=3t = 3, 解なし
- −1<k<2−12-1 < k < \sqrt{2}-\frac{1}{2}: t=1+2−2kt = 1 + \sqrt{2-2k} が t>2t > \sqrt{2} より条件を満たさないため、t=1−2−2kt = 1-\sqrt{2-2k} のみ。sin⁡θ−cos⁡θ=t\sin\theta - \cos\theta = t の解は2つ。
- k=2−12k = \sqrt{2}-\frac{1}{2}: t=1+2−2k=1+1−22+2=2t = 1 + \sqrt{2-2k} = 1 + \sqrt{1-2\sqrt{2}+2} = \sqrt{2}.t=1−2−2k=1−3−22=1−(2−1)=2−2t = 1-\sqrt{2-2k}= 1 - \sqrt{3-2\sqrt{2}} = 1 - (\sqrt{2}-1)=2-\sqrt{2}。このとき、ttの値1つに対し解は1つ。
- 2−12<k<1\sqrt{2}-\frac{1}{2} < k < 1: t=1+2−2kt=1+\sqrt{2-2k}は2\sqrt{2}より小さいt=1−2−2kt=1-\sqrt{2-2k}は-1より大きいので2つ。tt2つに対し、解が2つずつなので4つ。
- k=1k = 1: t=1t = 1 が一つのみ。解は1つ。
- k>1k > 1: 解なし

3. 最終的な答え

- k<−1,k>1k < -1, k > 1: 解なし
- k=−1k = -1: 解なし
- −1<k<2−12-1 < k < \sqrt{2}-\frac{1}{2}: 解は2個
- k=2−12k = \sqrt{2}-\frac{1}{2}: 解は3個
- 2−12<k<1\sqrt{2}-\frac{1}{2} < k < 1: 解は4個
- k=1k = 1: 解は1個

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