関数 $F(x) = \frac{(5x+4)^3}{(4x+5)^2}$ が与えられている。関数 $f(x) = \ln(F(x))$ の $x=1$ における微分係数 $f'(1)$ を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $F(x) = \frac{(5x+4)^3}{(4x+5)^2}$ が与えられている。関数 $f(x) = \ln(F(x))$ の $x=1$ における微分係数 $f'(1)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = \ln(F(x))$ を微分する。合成関数の微分公式を使うと、

$$f'(x) = \frac{F'(x)}{F(x)}$$

次に、$F(x)$ を微分する。$F(x) = \frac{(5x+4)^3}{(4x+5)^2}$ の微分には商の微分公式を用いる。

$$F'(x) = \frac{3(5x+4)^2(5)(4x+5)^2 - (5x+4)^3(2(4x+5)(4))}{(4x+5)^4} = \frac{15(5x+4)^2(4x+5)^2 - 8(5x+4)^3(4x+5)}{(4x+5)^4}$$

$$F'(x) = \frac{(5x+4)^2(4x+5)[15(4x+5) - 8(5x+4)]}{(4x+5)^4} = \frac{(5x+4)^2[60x+75 - 40x - 32]}{(4x+5)^3}$$

$$F'(x) = \frac{(5x+4)^2(20x+43)}{(4x+5)^3}$$

したがって、

$$f'(x) = \frac{F'(x)}{F(x)} = \frac{\frac{(5x+4)^2(20x+43)}{(4x+5)^3}}{\frac{(5x+4)^3}{(4x+5)^2}} = \frac{(5x+4)^2(20x+43)(4x+5)^2}{(4x+5)^3(5x+4)^3} = \frac{20x+43}{(5x+4)(4x+5)}$$

次に、$x=1$ のときの $f'(1)$ を計算する。

$$f'(1) = \frac{20(1)+43}{(5(1)+4)(4(1)+5)} = \frac{63}{9 \cdot 9} = \frac{63}{81} = \frac{7}{9}$$

3. 最終的な答え

$\frac{7}{9}$