以下の関数を微分する問題です。 (1) $y = (x-1)(x+2)(x-3)$ (2) $y = \tan^3(2x)$ (3) $y = \log \left| \frac{x+1}{2x-1} \right|$ (4) $y = \log(x + \sqrt{x^2+4})$ (5) $y = x^{\frac{1}{x}}$ (ただし、$x > 0$)

はい、承知いたしました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

以下の関数を微分する問題です。

(1) $y = (x-1)(x+2)(x-3)$

(2) $y = \tan^3(2x)$

(3) $y = \log \left| \frac{x+1}{2x-1} \right|$

(4) $y = \log(x + \sqrt{x^2+4})$

(5) $y = x^{\frac{1}{x}}$ (ただし、$x > 0$)

2. 解き方の手順

(1) $y = (x-1)(x+2)(x-3)$

まず、展開します。

$y = (x^2 + x - 2)(x-3) = x^3 + x^2 - 2x - 3x^2 - 3x + 6 = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$

微分すると、

$y' = 3x^2 - 4x - 5$

(2) $y = \tan^3(2x)$

合成関数の微分を行います。

$y' = 3 \tan^2(2x) \cdot (\tan(2x))' = 3 \tan^2(2x) \cdot \frac{1}{\cos^2(2x)} \cdot (2x)' = 3 \tan^2(2x) \cdot \frac{1}{\cos^2(2x)} \cdot 2 = \frac{6 \tan^2(2x)}{\cos^2(2x)}$

(3) $y = \log \left| \frac{x+1}{2x-1} \right|$

対数の性質を利用します。

$y = \log |x+1| - \log |2x-1|$

微分すると、

$y' = \frac{1}{x+1} - \frac{2}{2x-1} = \frac{(2x-1) - 2(x+1)}{(x+1)(2x-1)} = \frac{2x - 1 - 2x - 2}{(x+1)(2x-1)} = \frac{-3}{(x+1)(2x-1)} = \frac{-3}{2x^2 + x - 1}$

(4) $y = \log(x + \sqrt{x^2+4})$

合成関数の微分を行います。

$y' = \frac{1}{x + \sqrt{x^2+4}} \cdot (x + \sqrt{x^2+4})' = \frac{1}{x + \sqrt{x^2+4}} \cdot \left( 1 + \frac{1}{2\sqrt{x^2+4}} \cdot (x^2+4)' \right) = \frac{1}{x + \sqrt{x^2+4}} \cdot \left( 1 + \frac{2x}{2\sqrt{x^2+4}} \right) = \frac{1}{x + \sqrt{x^2+4}} \cdot \left( 1 + \frac{x}{\sqrt{x^2+4}} \right) = \frac{1}{x + \sqrt{x^2+4}} \cdot \frac{\sqrt{x^2+4} + x}{\sqrt{x^2+4}} = \frac{1}{\sqrt{x^2+4}}$

(5) $y = x^{\frac{1}{x}}$

両辺の対数をとります。

$\log y = \frac{1}{x} \log x$

両辺を微分します。

$\frac{y'}{y} = -\frac{1}{x^2} \log x + \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x^2} (1 - \log x)$

よって、

$y' = y \cdot \frac{1}{x^2} (1 - \log x) = x^{\frac{1}{x}} \cdot \frac{1 - \log x}{x^2}$

3. 最終的な答え

(1) $y' = 3x^2 - 4x - 5$

(2) $y' = \frac{6 \tan^2(2x)}{\cos^2(2x)}$

(3) $y' = \frac{-3}{(x+1)(2x-1)}$

(4) $y' = \frac{1}{\sqrt{x^2+4}}$

(5) $y' = x^{\frac{1}{x}} \cdot \frac{1 - \log x}{x^2}$