(1) 関数 $y = -\sin{x} + \cos{x}$ (ただし、$0 \le x < 2\pi$) の最大値、最小値、およびそのときの $x$ の値を求めよ。 (2) 関数 $y = \sqrt{6}\sin{x} - \sqrt{2}\cos{x}$ (ただし、$0 \le x < 2\pi$) の最大値、最小値、およびそのときの $x$ の値を求めよ。

はい、承知いたしました。問題の画像を基に、三角関数の最大値・最小値を求める問題を解きます。

1. 問題の内容

(1) 関数 $y = -\sin{x} + \cos{x}$ (ただし、$0 \le x < 2\pi$) の最大値、最小値、およびそのときの $x$ の値を求めよ。

(2) 関数 $y = \sqrt{6}\sin{x} - \sqrt{2}\cos{x}$ (ただし、$0 \le x < 2\pi$) の最大値、最小値、およびそのときの $x$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 合成の公式を利用します。

$y = -\sin{x} + \cos{x}$ を $y = r\sin(x + \alpha)$ の形に変形します。

$r = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ です。

$\cos{\alpha} = \frac{-1}{\sqrt{2}}$, $\sin{\alpha} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ より、$\alpha = \frac{3}{4}\pi$ となります。

したがって、$y = \sqrt{2}\sin(x + \frac{3}{4}\pi)$ と表せます。

$0 \le x < 2\pi$ より、$\frac{3}{4}\pi \le x + \frac{3}{4}\pi < \frac{11}{4}\pi$ です。

$\sin(x + \frac{3}{4}\pi)$ の最大値は $1$ (このとき、$x + \frac{3}{4}\pi = \frac{\pi}{2} + 2n\pi$を満たす)、最小値は $-1$ (このとき、$x + \frac{3}{4}\pi = \frac{3\pi}{2} + 2n\pi$を満たす) になります。

ここで、$n$ は整数です。

最大値をとる $x$ の値を求めます。

$x + \frac{3}{4}\pi = \frac{\pi}{2}$ より、$x = \frac{\pi}{2} - \frac{3}{4}\pi = -\frac{\pi}{4}$

しかし、$0 \le x < 2\pi$ なので、$x + \frac{3}{4}\pi = \frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{5}{2}\pi$ となります。

このとき、$x = \frac{5}{2}\pi - \frac{3}{4}\pi = \frac{7}{4}\pi$ です。

最大値は $\sqrt{2} \cdot 1 = \sqrt{2}$ (このとき $x = \frac{7}{4}\pi$) です。

最小値をとる $x$ の値を求めます。

$x + \frac{3}{4}\pi = \frac{3}{2}\pi$ より、$x = \frac{3}{2}\pi - \frac{3}{4}\pi = \frac{3}{4}\pi$ です。

最小値は $\sqrt{2} \cdot (-1) = -\sqrt{2}$ (このとき $x = \frac{3}{4}\pi$) です。

(2) 合成の公式を利用します。

$y = \sqrt{6}\sin{x} - \sqrt{2}\cos{x}$ を $y = r\sin(x + \alpha)$ の形に変形します。

$r = \sqrt{(\sqrt{6})^2 + (-\sqrt{2})^2} = \sqrt{6 + 2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ です。

$\cos{\alpha} = \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin{\alpha} = \frac{-\sqrt{2}}{2\sqrt{2}} = -\frac{1}{2}$ より、$\alpha = -\frac{\pi}{6}$ となります。

したがって、$y = 2\sqrt{2}\sin(x - \frac{\pi}{6})$ と表せます。

$0 \le x < 2\pi$ より、$-\frac{\pi}{6} \le x - \frac{\pi}{6} < \frac{11}{6}\pi$ です。

$\sin(x - \frac{\pi}{6})$ の最大値は $1$ (このとき、$x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + 2n\pi$を満たす)、最小値は $-1$ (このとき、$x - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{2} + 2n\pi$を満たす) になります。

ここで、$n$ は整数です。

最大値をとる $x$ の値を求めます。

$x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$ より、$x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} = \frac{4}{6}\pi = \frac{2}{3}\pi$ です。

最大値は $2\sqrt{2} \cdot 1 = 2\sqrt{2}$ (このとき $x = \frac{2}{3}\pi$) です。

最小値をとる $x$ の値を求めます。

$x - \frac{\pi}{6} = \frac{3}{2}\pi$ より、$x = \frac{3}{2}\pi + \frac{\pi}{6} = \frac{10}{6}\pi = \frac{5}{3}\pi$ です。

最小値は $2\sqrt{2} \cdot (-1) = -2\sqrt{2}$ (このとき $x = \frac{5}{3}\pi$) です。

3. 最終的な答え

(1)

最大値：$\sqrt{2}$ ( $x = \frac{7}{4}\pi$ のとき)

最小値：$-\sqrt{2}$ ( $x = \frac{3}{4}\pi$ のとき)

(2)

最大値：$2\sqrt{2}$ ( $x = \frac{2}{3}\pi$ のとき)

最小値：$-2\sqrt{2}$ ( $x = \frac{5}{3}\pi$ のとき)