$a, b$ を定数、$n$ を自然数とする。関数 $g(x) = \frac{2x^{2n} + x^{2n-1} + ax^2 + bx + 4}{x^{2n} + 1}$ について、関数 $f(x)$ を $f(x) = \lim_{n \to \infty} g(x)$ で定めるとき、次の問に答える。 (1) $|x| < 1$ のとき、関数 $f(x)$ を求めよ。 (2) $|x| > 1$ のとき、関数 $f(x)$ を求めよ。 (3) 関数 $f(x)$ が区間 $(-\infty, \infty)$ のすべての $x$ の値で連続となるように、定数 $a, b$ の値を定めよ。 (4) 定数 $a, b$ が (3) で定めた値であるとき、関数 $f(x)$ の最大値および最小値を求めよ。

1. 問題の内容

$a, b$ を定数、$n$ を自然数とする。関数 $g(x) = \frac{2x^{2n} + x^{2n-1} + ax^2 + bx + 4}{x^{2n} + 1}$ について、関数 $f(x)$ を $f(x) = \lim_{n \to \infty} g(x)$ で定めるとき、次の問に答える。

(1) $|x| < 1$ のとき、関数 $f(x)$ を求めよ。

(2) $|x| > 1$ のとき、関数 $f(x)$ を求めよ。

(3) 関数 $f(x)$ が区間 $(-\infty, \infty)$ のすべての $x$ の値で連続となるように、定数 $a, b$ の値を定めよ。

(4) 定数 $a, b$ が (3) で定めた値であるとき、関数 $f(x)$ の最大値および最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $|x| < 1$ のとき、$x^{2n} \to 0$ および $x^{2n-1} \to 0$ ($n \to \infty$) であるから、

$$$$

f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{2x^{2n} + x^{2n-1} + ax^2 + bx + 4}{x^{2n} + 1} = \frac{0 + 0 + ax^2 + bx + 4}{0 + 1} = ax^2 + bx + 4

$$$$

(2) $|x| > 1$ のとき、$g(x) = \frac{2 + \frac{1}{x} + \frac{a}{x^{2n-2}} + \frac{b}{x^{2n-1}} + \frac{4}{x^{2n}}}{1 + \frac{1}{x^{2n}}}$と変形できる.

このとき、$\frac{1}{x^{2n}} \to 0, \frac{1}{x^{2n-1}} \to 0, \frac{1}{x^{2n-2}} \to 0$ ($n \to \infty$) であるから、

$$$$

f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{2x^{2n} + x^{2n-1} + ax^2 + bx + 4}{x^{2n} + 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{x} + \frac{a}{x^{2n-2}} + \frac{b}{x^{2n-1}} + \frac{4}{x^{2n}}}{1 + \frac{1}{x^{2n}}} = \frac{2 + \frac{1}{x} + 0 + 0 + 0}{1 + 0} = 2

$$$$

(3) $f(x)$ が $x=1$ で連続となるためには、$\lim_{x \to 1-0} f(x) = \lim_{x \to 1+0} f(x) = f(1)$ が必要。

$\lim_{x \to 1-0} f(x) = a + b + 4$, $\lim_{x \to 1+0} f(x) = 2$ より $a+b+4=2$ つまり $a+b=-2$。

$f(x)$ が $x=-1$ で連続となるためには、$\lim_{x \to -1-0} f(x) = \lim_{x \to -1+0} f(x) = f(-1)$ が必要。

$\lim_{x \to -1-0} f(x) = 2$, $\lim_{x \to -1+0} f(x) = a - b + 4$ より $a-b+4 = 2$ つまり $a-b=-2$。

連立方程式

$a+b=-2$

$a-b=-2$

を解いて、$a = -2, b = 0$。

(4) $a=-2, b=0$ のとき、$|x| < 1$ ならば $f(x) = -2x^2 + 4$、$|x|>1$ならば$f(x) = 2$。$x=1$または$x=-1$のとき、$f(x)=2$

$f(x) = \begin{cases}

-2x^2 + 4 & (|x| < 1) \\

2 & (|x| \geq 1)

\end{cases}$

$|x| < 1$ のとき、$-1 < x < 1$ であり、$-2x^2 + 4$ の最大値は $x=0$ のとき $f(0) = 4$ である。最小値は $x = \pm 1$ のとき $f(\pm 1) = 2$ である。

また、$|x| \geq 1$ のとき、$f(x) = 2$ である。

したがって、関数 $f(x)$ の最大値は 4 であり、最小値は 2 である。

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = ax^2 + bx + 4$

(2) $f(x) = 2$

(3) $a = -2, b = 0$

(4) 最大値: 4, 最小値: 2