(1) $\tan y = x$ （$-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$）が与えられたとき、$\frac{dy}{dx}$ を $x$ の式で表せ。 (2) $f(x) = 2\sin{\frac{x}{2}}$ （$-\pi < x < \pi$）の逆関数を $g(x)$ とするとき、$g'(x) = \frac{2}{\sqrt{4-x^2}}$ であることを示せ。

1. 問題の内容

(1) $\tan y = x$ （$-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$）が与えられたとき、$\frac{dy}{dx}$ を $x$ の式で表せ。

(2) $f(x) = 2\sin{\frac{x}{2}}$ （$-\pi < x < \pi$）の逆関数を $g(x)$ とするとき、$g'(x) = \frac{2}{\sqrt{4-x^2}}$ であることを示せ。

2. 解き方の手順

(1) $\tan y = x$ を $x$ で微分します。

$\frac{d}{dx}(\tan y) = \frac{d}{dx}(x)$

$\frac{1}{\cos^2 y} \frac{dy}{dx} = 1$

$\frac{dy}{dx} = \cos^2 y$

$\cos^2 y = \frac{1}{1+\tan^2 y}$ であるから、$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+\tan^2 y} = \frac{1}{1+x^2}$。

(2) $f(x) = 2\sin{\frac{x}{2}}$ の逆関数を $g(x)$ とするので、$g(f(x)) = x$ が成り立ちます。

これを $x$ で微分すると、

$g'(f(x)) \cdot f'(x) = 1$

$g'(f(x)) = \frac{1}{f'(x)}$

$f'(x) = 2 \cos{\frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{2} = \cos{\frac{x}{2}}$

したがって、$g'(f(x)) = \frac{1}{\cos{\frac{x}{2}}}$。

$f(x) = y$ とおくと、$x = g(y)$。すると、$g'(y) = \frac{1}{\cos{\frac{g(y)}{2}}}$。

$y = 2 \sin{\frac{x}{2}}$ であるから、$\sin{\frac{x}{2}} = \frac{y}{2}$。

$\cos^2{\frac{x}{2}} + \sin^2{\frac{x}{2}} = 1$ より、$\cos^2{\frac{x}{2}} = 1 - \sin^2{\frac{x}{2}} = 1 - (\frac{y}{2})^2 = 1 - \frac{y^2}{4} = \frac{4-y^2}{4}$。

したがって、$\cos{\frac{x}{2}} = \sqrt{\frac{4-y^2}{4}} = \frac{\sqrt{4-y^2}}{2}$。

よって、$g'(y) = \frac{1}{\frac{\sqrt{4-y^2}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{4-y^2}}$。

したがって、$g'(x) = \frac{2}{\sqrt{4-x^2}}$。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+x^2}$

(2) $g'(x) = \frac{2}{\sqrt{4-x^2}}$