3次関数 $f(x) = \frac{2}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 2$ について、以下の問いに答える。 (1) 関数 $y=f(x)$ の極値を求め、そのグラフを描く。 (2) $a$ は正の実数とする。区間 $a \le x \le a+3$ における関数 $y=f(x)$ の最小値を $a$ を用いて表す。

1. 問題の内容

3次関数 $f(x) = \frac{2}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + 2$ について、以下の問いに答える。

(1) 関数 $y=f(x)$ の極値を求め、そのグラフを描く。

(2) $a$ は正の実数とする。区間 $a \le x \le a+3$ における関数 $y=f(x)$ の最小値を $a$ を用いて表す。

2. 解き方の手順

(1) 関数 $f(x)$ の極値を求める。

まず、$f(x)$ を微分する。

$f'(x) = 2x^2 - 3x = x(2x-3)$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$x = 0, \frac{3}{2}$

増減表を作成する。

| x | ... | 0 | ... | 3/2 | ... |

| :--- | :--- | :-- | :--- | :-- | :--- |

| f'(x) | + | 0 | - | 0 | + |

| f(x) | 増加 | 極大 | 減少 | 極小 | 増加 |

$x = 0$ のとき、$f(0) = 2$

$x = \frac{3}{2}$ のとき、$f(\frac{3}{2}) = \frac{2}{3}(\frac{3}{2})^3 - \frac{3}{2}(\frac{3}{2})^2 + 2 = \frac{2}{3} \cdot \frac{27}{8} - \frac{3}{2} \cdot \frac{9}{4} + 2 = \frac{9}{4} - \frac{27}{8} + 2 = \frac{18 - 27 + 16}{8} = \frac{7}{8}$

したがって、$f(x)$ は $x=0$ で極大値 $2$ をとり、$x=\frac{3}{2}$ で極小値 $\frac{7}{8}$ をとる。

グラフは、極大値$(0,2)$、極小値$(\frac{3}{2}, \frac{7}{8})$ を持つ3次関数となる。

(2) 区間 $a \le x \le a+3$ における関数 $y=f(x)$ の最小値を求める。

$a>0$ より区間は常に正の領域にある。極小値を与える $x=3/2$ が区間に含まれるかどうかで場合分けをする。

(i) $a+3 < \frac{3}{2}$ のとき、つまり $a < -\frac{3}{2}$ のとき。

これは $a>0$ に反するので起こりえない。

(ii) $a > \frac{3}{2}$ のとき。このとき区間 $a \le x \le a+3$ で $f(x)$ は増加関数なので、$x=a$ で最小となる。

最小値は $f(a) = \frac{2}{3}a^3 - \frac{3}{2}a^2 + 2$

(iii) $a \le \frac{3}{2} \le a+3$ のとき。つまり $-\frac{3}{2} \le a \le \frac{3}{2}$ のとき。

$a > 0$ であるので $0 < a \le \frac{3}{2}$ である。

このとき、区間内に極小値 $x=\frac{3}{2}$ が含まれるので、$x=\frac{3}{2}$ で最小値 $\frac{7}{8}$ をとる。

3. 最終的な答え

(1) $x=0$ で極大値 $2$ 、$x=\frac{3}{2}$ で極小値 $\frac{7}{8}$

(2)

$a > \frac{3}{2}$ のとき、最小値は $\frac{2}{3}a^3 - \frac{3}{2}a^2 + 2$

$0 < a \le \frac{3}{2}$ のとき、最小値は $\frac{7}{8}$