関数 $g(x) = \frac{2x^{2n} + x^{2n-1} + ax^2 + bx + 4}{x^{2n} + 1}$ が与えられている。$n$ は自然数、$a, b$ は定数である。関数 $f(x) = \lim_{n \to \infty} g(x)$ を定義し、以下の問いに答える。 (1) $|x| < 1$ のとき、$f(x)$ を求めよ。 (2) $|x| > 1$ のとき、$f(x)$ を求めよ。 (3) $f(x)$ が区間 $(-\infty, \infty)$ で連続となるように、$a, b$ の値を定めよ。 (4) (3) で定めた $a, b$ の値に対して、$f(x)$ の最大値と最小値を求めよ。

はい、承知いたしました。以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

関数 $g(x) = \frac{2x^{2n} + x^{2n-1} + ax^2 + bx + 4}{x^{2n} + 1}$ が与えられている。$n$ は自然数、$a, b$ は定数である。関数 $f(x) = \lim_{n \to \infty} g(x)$ を定義し、以下の問いに答える。

(1) $|x| < 1$ のとき、$f(x)$ を求めよ。

(2) $|x| > 1$ のとき、$f(x)$ を求めよ。

(3) $f(x)$ が区間 $(-\infty, \infty)$ で連続となるように、$a, b$ の値を定めよ。

(4) (3) で定めた $a, b$ の値に対して、$f(x)$ の最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $|x| < 1$ のとき、$n \to \infty$ とすると、$x^{2n} \to 0$ かつ $x^{2n-1} \to 0$ なので、

$$$$

f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{2x^{2n} + x^{2n-1} + ax^2 + bx + 4}{x^{2n} + 1} = \frac{0 + 0 + ax^2 + bx + 4}{0 + 1} = ax^2 + bx + 4

$$$$

(2) $|x| > 1$ のとき、分子と分母を $x^{2n}$ で割ると、

$$$$

g(x) = \frac{2 + \frac{1}{x} + \frac{ax^2}{x^{2n}} + \frac{bx}{x^{2n}} + \frac{4}{x^{2n}}}{1 + \frac{1}{x^{2n}}}

$$$$

$n \to \infty$ とすると、$\frac{1}{x^{2n}} \to 0$, $\frac{ax^2}{x^{2n}} \to 0$, $\frac{bx}{x^{2n}} \to 0$, $\frac{1}{x} \to 0$ なので、

$$$$

f(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{x} + \frac{ax^2}{x^{2n}} + \frac{bx}{x^{2n}} + \frac{4}{x^{2n}}}{1 + \frac{1}{x^{2n}}} = \frac{2 + 0 + 0 + 0 + 0}{1 + 0} = 2

$$$$

(3) $f(x)$ が連続であるためには、$x = 1$ および $x = -1$ で連続である必要がある。

$x = 1$ のとき、$f(1) = a(1)^2 + b(1) + 4 = a + b + 4$ であり、$f(1) = 2$ でなければならない。

$x = -1$ のとき、$f(-1) = a(-1)^2 + b(-1) + 4 = a - b + 4$ であり、$f(-1) = 2$ でなければならない。

したがって、$a + b + 4 = 2$ かつ $a - b + 4 = 2$ である。

よって、$a + b = -2$ かつ $a - b = -2$ である。

この連立方程式を解くと、$2a = -4$ より $a = -2$ であり、$b = 0$ である。

したがって、$a = -2, b = 0$ である。

(4) $a = -2, b = 0$ のとき、

$|x| < 1$ で、$f(x) = -2x^2 + 4$ であり、

$|x| > 1$ で、$f(x) = 2$ である。

$f(x)$ は $|x| < 1$ で上に凸の放物線である。

$x = 0$ のとき、$f(0) = 4$ が最大値である。

また、$f(x) = 2$ となるのは、$x = \pm 1$ のときである。

$|x| < 1$ で、$x \to \pm 1$ のとき、$f(x) \to -2(\pm 1)^2 + 4 = -2 + 4 = 2$ となる。

したがって、最小値は $2$ である。

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = ax^2 + bx + 4$

(2) $f(x) = 2$

(3) $a = -2, b = 0$

(4) 最大値: $4$, 最小値: $2$