(1) 関数 $y = \sqrt{7}\sin{x} - 3\cos{x}$ の最大値と最小値を求めよ。 (2) 関数 $y = 2\sin{x} + \cos{x}$ ($0 \le x \le \pi$) の最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 関数 $y = \sqrt{7}\sin{x} - 3\cos{x}$ の最大値と最小値を求めよ。

(2) 関数 $y = 2\sin{x} + \cos{x}$ ($0 \le x \le \pi$) の最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

三角関数の合成を行います。$a \sin{x} + b \cos{x} = \sqrt{a^2 + b^2} \sin(x+\alpha)$

ただし、$\cos{\alpha} = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ 、$\sin{\alpha} = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

$y = \sqrt{7}\sin{x} - 3\cos{x}$に対して、

$\sqrt{(\sqrt{7})^2 + (-3)^2} = \sqrt{7 + 9} = \sqrt{16} = 4$

$y = 4\sin(x+\alpha)$

ただし、$\cos{\alpha} = \frac{\sqrt{7}}{4}$、$\sin{\alpha} = -\frac{3}{4}$

$\sin(x+\alpha)$の取りうる値の範囲は$-1 \le \sin(x+\alpha) \le 1$なので、

$y$の最大値は$4 \times 1 = 4$

$y$の最小値は$4 \times (-1) = -4$

(2)

三角関数の合成を行います。$a \sin{x} + b \cos{x} = \sqrt{a^2 + b^2} \sin(x+\alpha)$

ただし、$\cos{\alpha} = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ 、$\sin{\alpha} = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

$y = 2\sin{x} + \cos{x}$に対して、

$\sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$

$y = \sqrt{5} \sin(x+\alpha)$

ただし、$\cos{\alpha} = \frac{2}{\sqrt{5}}$、$\sin{\alpha} = \frac{1}{\sqrt{5}}$

$0 \le x \le \pi$ の範囲で$x+\alpha$を考えると、$\alpha \le x+\alpha \le \pi+\alpha$

$\sin{\alpha} = \frac{1}{\sqrt{5}}$より$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$

$x+\alpha = \frac{\pi}{2}$ のとき、$\sin(x+\alpha) = 1$となり、最大値は$\sqrt{5}$

最小値を考える。$\alpha \le x+\alpha \le \pi+\alpha$の範囲で$\sin(x+\alpha)$の最小値を求める。

$\sin{\alpha} = \frac{1}{\sqrt{5}}$より$\alpha = \arcsin{\frac{1}{\sqrt{5}}}$

$\sin(\pi+\alpha) = -\sin{\alpha} = -\frac{1}{\sqrt{5}}$

よって、最小値は$-\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = -1$

3. 最終的な答え

(1)

最大値：4

最小値：-4

(2)

最大値：$\sqrt{5}$

最小値：$-\frac{1}{\sqrt{5}}$