$0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}$ のとき、関数 $f(x) = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} |\sin t - \sin x| dt$ の最小値と、そのときの $x$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}$ のとき、関数 $f(x) = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} |\sin t - \sin x| dt$ の最小値と、そのときの $x$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、積分の中の絶対値を外すために、$\sin t$ と $\sin x$ の大小関係を考える。

$t \in [0, \frac{\pi}{2}]$ において、

* $0 \leq t \leq x$ のとき、$\sin t \leq \sin x$ なので、 $|\sin t - \sin x| = \sin x - \sin t$

* $x \leq t \leq \frac{\pi}{2}$ のとき、$\sin t \geq \sin x$ なので、 $|\sin t - \sin x| = \sin t - \sin x$

したがって、$f(x)$ は次のように書き換えられる。

$f(x) = \int_{0}^{x} (\sin x - \sin t) dt + \int_{x}^{\frac{\pi}{2}} (\sin t - \sin x) dt$

次に、積分を計算する。

$f(x) = \left[ t\sin x + \cos t \right]_{0}^{x} + \left[ -\cos t - t\sin x \right]_{x}^{\frac{\pi}{2}}$

$f(x) = (x\sin x + \cos x - 0 - 1) + (-0 - \frac{\pi}{2}\sin x + \cos x + x\sin x)$

$f(x) = 2x\sin x + 2\cos x - 1 - \frac{\pi}{2}\sin x$

$f(x) = 2x\sin x - \frac{\pi}{2}\sin x + 2\cos x - 1$

次に、$f(x)$ の最小値を求めるために、$f'(x)$ を計算する。

$f'(x) = 2\sin x + 2x\cos x - \frac{\pi}{2}\cos x - 2\sin x$

$f'(x) = 2x\cos x - \frac{\pi}{2}\cos x$

$f'(x) = (2x - \frac{\pi}{2})\cos x$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。$\cos x = 0$ または $2x - \frac{\pi}{2} = 0$

$0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}$ において、$\cos x = 0$ となるのは $x = \frac{\pi}{2}$ のとき。

$2x - \frac{\pi}{2} = 0$ より、$x = \frac{\pi}{4}$

$x=0, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}$ の時の $f(x)$ の値を比較する。

$f(0) = 2(0)\sin 0 - \frac{\pi}{2}\sin 0 + 2\cos 0 - 1 = 2(1)-1 = 1$

$f(\frac{\pi}{4}) = 2(\frac{\pi}{4})\sin \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2}\sin \frac{\pi}{4} + 2\cos \frac{\pi}{4} - 1 = \frac{\pi}{2}\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\pi}{2}\frac{\sqrt{2}}{2} + 2\frac{\sqrt{2}}{2} - 1 = \sqrt{2}-1$

$f(\frac{\pi}{2}) = 2(\frac{\pi}{2})\sin \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2}\sin \frac{\pi}{2} + 2\cos \frac{\pi}{2} - 1 = \pi - \frac{\pi}{2} + 0 - 1 = \frac{\pi}{2} - 1$

$\sqrt{2} - 1 \approx 1.414 - 1 = 0.414$

$\frac{\pi}{2} - 1 \approx \frac{3.14}{2} - 1 = 1.57 - 1 = 0.57$

したがって、最小値は $\sqrt{2}-1$ であり、$x = \frac{\pi}{4}$ のときである。

3. 最終的な答え

最小値: $\sqrt{2} - 1$

そのときの $x$ の値: $\frac{\pi}{4}$