$a > 0$, $x > 0$ のとき、関数 $f(x)$ は等式 $\int_{a}^{x^2} f(t) dt = \log x$ を満たす。このとき、$f(x)$ と定数 $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

$a > 0$, $x > 0$ のとき、関数 $f(x)$ は等式 $\int_{a}^{x^2} f(t) dt = \log x$ を満たす。このとき、$f(x)$ と定数 $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた等式 $\int_{a}^{x^2} f(t) dt = \log x$ の両辺を $x$ で微分する。

積分区間の上端が $x^2$ であることに注意して、合成関数の微分を行う。

$\frac{d}{dx} \int_{a}^{x^2} f(t) dt = \frac{d}{dx} \log x$

左辺は、積分区間の上端の関数を微分して $2x$ をかける必要があるため、以下のようになる。

$f(x^2) \cdot 2x = \frac{1}{x}$

$2x f(x^2) = \frac{1}{x}$

$f(x^2) = \frac{1}{2x^2}$

ここで、$x^2 = u$ とおくと、$x = \sqrt{u}$ であるから、

$f(u) = \frac{1}{2u}$

したがって、$f(x) = \frac{1}{2x}$ が得られる。

次に、$a$ の値を求めるために、$f(x)$ を $\int_{a}^{x^2} f(t) dt = \log x$ に代入する。

$\int_{a}^{x^2} \frac{1}{2t} dt = \log x$

$\frac{1}{2} \int_{a}^{x^2} \frac{1}{t} dt = \log x$

$\frac{1}{2} [\log t]_{a}^{x^2} = \log x$

$\frac{1}{2} (\log x^2 - \log a) = \log x$

$\frac{1}{2} (2 \log x - \log a) = \log x$

$\log x - \frac{1}{2} \log a = \log x$

$\frac{1}{2} \log a = 0$

$\log a = 0$

$a = e^0 = 1$

3. 最終的な答え

$f(x) = \frac{1}{2x}$

$a = 1$