## 1. 問題の内容

解析学微分対数関数合成関数積の微分

2025/5/6

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1. 問題の内容

関数

F(x) = (5x+2)^x

が与えられている。関数

f(x) = \ln(F(x))

の

x=1

における微分係数

f'(1)

を求めよ。

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2. 解き方の手順

1. $f(x) = \ln(F(x)) = \ln((5x+2)^x) = x \ln(5x+2)$

2. $f(x)$ を微分する。積の微分公式を使う:

f'(x) = \frac{d}{dx} [x \ln(5x+2)] = \frac{d}{dx}(x) \cdot \ln(5x+2) + x \cdot \frac{d}{dx}(\ln(5x+2)) = 1 \cdot \ln(5x+2) + x \cdot \frac{5}{5x+2}

f'(x) = \ln(5x+2) + \frac{5x}{5x+2}

3. $f'(1)$ を計算する。

f'(1) = \ln(5(1)+2) + \frac{5(1)}{5(1)+2} = \ln(7) + \frac{5}{7}

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3. 最終的な答え

f'(1) = \ln(7) + \frac{5}{7}

問題文のフォーマットに合うように、

f'(1) = \frac{7\ln(7) + 5}{7}

と変形して回答します。

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