関数 $y = -\sin x + \cos x$ について、$0 \le x < 2\pi$ の範囲における最大値、最小値、およびそのときの $x$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = -\sin x + \cos x$ について、$0 \le x < 2\pi$ の範囲における最大値、最小値、およびそのときの $x$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$y = -\sin x + \cos x$ を三角関数の合成を用いて変形します。

$y = -\sin x + \cos x = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} \sin(x + \alpha) = \sqrt{2} \sin(x + \alpha)$

ここで、$\cos \alpha = \frac{-1}{\sqrt{2}}$、$\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$ なので、$\alpha = \frac{3}{4}\pi$ となります。

したがって、$y = \sqrt{2} \sin\left(x + \frac{3}{4}\pi\right)$ となります。

$0 \le x < 2\pi$ より、$\frac{3}{4}\pi \le x + \frac{3}{4}\pi < \frac{11}{4}\pi$ です。

$\sin$ 関数は、$0 \le \theta < 2\pi$ で $-1 \le \sin \theta \le 1$ となります。

$\frac{3}{4}\pi \le x + \frac{3}{4}\pi < \frac{11}{4}\pi = 2\pi + \frac{3}{4}\pi$ であるので、$\sin\left(x + \frac{3}{4}\pi\right)$ も同様に $-1 \le \sin\left(x + \frac{3}{4}\pi\right) \le 1$ となります。

よって、

最大値は、$y = \sqrt{2} \cdot 1 = \sqrt{2}$ であり、このとき $\sin\left(x + \frac{3}{4}\pi\right) = 1$ です。

したがって、$x + \frac{3}{4}\pi = \frac{\pi}{2} + 2n\pi$ (nは整数) となり、$x = \frac{\pi}{2} - \frac{3}{4}\pi + 2n\pi = -\frac{\pi}{4} + 2n\pi$ となります。

$0 \le x < 2\pi$ であるので、$x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7}{4}\pi$ となります。

最小値は、$y = \sqrt{2} \cdot (-1) = -\sqrt{2}$ であり、このとき $\sin\left(x + \frac{3}{4}\pi\right) = -1$ です。

したがって、$x + \frac{3}{4}\pi = \frac{3}{2}\pi + 2n\pi$ (nは整数) となり、$x = \frac{3}{2}\pi - \frac{3}{4}\pi + 2n\pi = \frac{3}{4}\pi + 2n\pi$ となります。

$0 \le x < 2\pi$ であるので、$x = \frac{3}{4}\pi$ となります。

3. 最終的な答え

最大値：$\sqrt{2}$ ($x = \frac{7}{4}\pi$ のとき)

最小値：$-\sqrt{2}$ ($x = \frac{3}{4}\pi$ のとき)