SENSEI AI
About App

定積分 $\int_{-1}^{1} (e^x - e^{-x} - 1) dx$ を計算します。

解析学定積分指数関数積分計算
2025/5/7

1. 問題の内容

定積分 ∫−11(ex−e−x−1)dx\int_{-1}^{1} (e^x - e^{-x} - 1) dx を計算します。

2. 解き方の手順

まず、積分を分配します。
∫−11(ex−e−x−1)dx=∫−11exdx−∫−11e−xdx−∫−111dx\int_{-1}^{1} (e^x - e^{-x} - 1) dx = \int_{-1}^{1} e^x dx - \int_{-1}^{1} e^{-x} dx - \int_{-1}^{1} 1 dx
次に、各積分を計算します。
∫exdx=ex+C\int e^x dx = e^x + C
∫e−xdx=−e−x+C\int e^{-x} dx = -e^{-x} + C
∫1dx=x+C\int 1 dx = x + C
したがって、
∫−11exdx=e1−e−1=e−1e\int_{-1}^{1} e^x dx = e^1 - e^{-1} = e - \frac{1}{e}
∫−11e−xdx=−e−1−(−e−(−1))=−e−1+e1=e−1e\int_{-1}^{1} e^{-x} dx = -e^{-1} - (-e^{-(-1)}) = -e^{-1} + e^1 = e - \frac{1}{e}
∫−111dx=1−(−1)=2\int_{-1}^{1} 1 dx = 1 - (-1) = 2
よって、元の積分は次のようになります。
∫−11(ex−e−x−1)dx=(e−1e)−(e−1e)−2=0−2=−2\int_{-1}^{1} (e^x - e^{-x} - 1) dx = (e - \frac{1}{e}) - (e - \frac{1}{e}) - 2 = 0 - 2 = -2

3. 最終的な答え

-2

「解析学」の関連問題

(3) 曲線 $y = x^3 + 2x^2$ と $x$ 軸によって囲まれた部分の面積を求める。 (4) 和 $\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{4k^2 - 1}$ を $n$ を用...

積分面積数列部分分数分解ベクトル内積
2025/5/9

以下の3つの極限を求めます。 (1) $\lim_{n \to \infty} \frac{5^n - 2^n}{5^n + 2^n}$ (2) $\lim_{n \to \infty} \frac{...

極限数列指数関数
2025/5/9

与えられた関数について、その増減を調べる問題です。今回は、問題の中から(1) $f(x) = -x^4 + 6x^2 + 8x - 10$ を解きます。

関数の増減導関数極値微分
2025/5/9

問題は、定積分 $I = \int_{0}^{\pi} e^x \sin x dx$ を計算することです。

定積分部分積分指数関数三角関数
2025/5/9

定積分 $\int_{2}^{3} (x^2 + 5)e^x dx$ を計算します。

積分定積分部分積分指数関数
2025/5/9

$\int_{1}^{e} \log x dx$ を計算する問題です。

積分部分積分対数関数
2025/5/9

定積分 $\int_{-1}^{1} (e^x - e^{-x} - 1) dx$ を計算します。

定積分指数関数積分計算
2025/5/9

定積分 $\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \sin^4(x) \cos(x) \, dx$ を計算します。

定積分置換積分三角関数
2025/5/9

定積分 $\int_{-\pi}^{\pi} \cos x \sin^3 x \, dx$ を計算します。

定積分三角関数奇関数積分
2025/5/9

定積分 $\int_{-a}^{a} x^3 \sqrt{a^2 - x^2} \, dx$ を計算します。

定積分奇関数積分
2025/5/9