定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} x\sin(2x) dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} x\sin(2x) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

部分積分を使って解きます。

部分積分の公式は $\int u dv = uv - \int v du$ です。

$u = x$, $dv = \sin(2x) dx$ とおくと、

$du = dx$, $v = \int \sin(2x) dx = -\frac{1}{2}\cos(2x)$ となります。

したがって、

$\int x\sin(2x) dx = x(-\frac{1}{2}\cos(2x)) - \int (-\frac{1}{2}\cos(2x)) dx$

$= -\frac{1}{2}x\cos(2x) + \frac{1}{2}\int \cos(2x) dx$

$= -\frac{1}{2}x\cos(2x) + \frac{1}{2} (\frac{1}{2}\sin(2x)) + C$

$= -\frac{1}{2}x\cos(2x) + \frac{1}{4}\sin(2x) + C$

定積分を計算します。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} x\sin(2x) dx = \left[-\frac{1}{2}x\cos(2x) + \frac{1}{4}\sin(2x)\right]_0^{\frac{\pi}{3}}$

$= \left(-\frac{1}{2}(\frac{\pi}{3})\cos(\frac{2\pi}{3}) + \frac{1}{4}\sin(\frac{2\pi}{3})\right) - \left(-\frac{1}{2}(0)\cos(0) + \frac{1}{4}\sin(0)\right)$

$= -\frac{\pi}{6}(-\frac{1}{2}) + \frac{1}{4}(\frac{\sqrt{3}}{2}) - 0$

$= \frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{8}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{8}$