$\int_{1}^{e} \log{x} \, dx$ を計算してください。

1. 問題の内容

$\int_{1}^{e} \log{x} \, dx$ を計算してください。

2. 解き方の手順

この積分を解くために、部分積分を使用します。部分積分の公式は次のとおりです。

$\int u \, dv = uv - \int v \, du$

ここでは、以下のように設定します。

$u = \log{x}$

$dv = dx$

したがって、次のようになります。

$du = \frac{1}{x} \, dx$

$v = x$

部分積分の公式に代入すると、次のようになります。

$\int_{1}^{e} \log{x} \, dx = \left[x \log{x}\right]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} x \cdot \frac{1}{x} \, dx$

$= \left[x \log{x}\right]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} 1 \, dx$

$= \left[x \log{x}\right]_{1}^{e} - \left[x\right]_{1}^{e}$

$= (e \log{e} - 1 \log{1}) - (e - 1)$

$\log{e} = 1$ および $\log{1} = 0$ であるため、次のようになります。

$= (e \cdot 1 - 1 \cdot 0) - (e - 1)$

$= e - (e - 1)$

$= e - e + 1$

$= 1$

3. 最終的な答え

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