$\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{2}$ を満たす鈍角 $\theta$ があるとき、以下の2つの式の値を求める問題です。 (1) $\frac{1}{\cos \theta} + \frac{1}{\sin \theta}$ (2) $\cos^4 \theta - \sin^4 \theta$

1. 問題の内容

$\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{2}$ を満たす鈍角 $\theta$ があるとき、以下の2つの式の値を求める問題です。

(1) $\frac{1}{\cos \theta} + \frac{1}{\sin \theta}$

(2) $\cos^4 \theta - \sin^4 \theta$

2. 解き方の手順

(1) $\frac{1}{\cos \theta} + \frac{1}{\sin \theta}$ の値を求める

まず、与えられた条件 $\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{2}$ の両辺を2乗します。

$(\sin \theta + \cos \theta)^2 = (\frac{1}{2})^2$

$\sin^2 \theta + 2 \sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = \frac{1}{4}$

$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ なので、

$1 + 2 \sin \theta \cos \theta = \frac{1}{4}$

$2 \sin \theta \cos \theta = \frac{1}{4} - 1 = -\frac{3}{4}$

$\sin \theta \cos \theta = -\frac{3}{8}$

次に、求めたい式 $\frac{1}{\cos \theta} + \frac{1}{\sin \theta}$ を通分します。

$\frac{1}{\cos \theta} + \frac{1}{\sin \theta} = \frac{\sin \theta + \cos \theta}{\sin \theta \cos \theta}$

$\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{2}$ と $\sin \theta \cos \theta = -\frac{3}{8}$ を代入すると、

$\frac{\sin \theta + \cos \theta}{\sin \theta \cos \theta} = \frac{\frac{1}{2}}{-\frac{3}{8}} = \frac{1}{2} \times (-\frac{8}{3}) = -\frac{4}{3}$

(2) $\cos^4 \theta - \sin^4 \theta$ の値を求める

$\cos^4 \theta - \sin^4 \theta$ を因数分解します。

$\cos^4 \theta - \sin^4 \theta = (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)(\cos^2 \theta - \sin^2 \theta)$

$\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ なので、

$\cos^4 \theta - \sin^4 \theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta$

さらに、$\cos^2 \theta - \sin^2 \theta = (\cos \theta + \sin \theta)(\cos \theta - \sin \theta)$ と因数分解できます。

$\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{2}$ は分かっています。$\cos \theta - \sin \theta$ を求めるために、$(\cos \theta - \sin \theta)^2$ を計算します。

$(\cos \theta - \sin \theta)^2 = \cos^2 \theta - 2 \sin \theta \cos \theta + \sin^2 \theta = 1 - 2 \sin \theta \cos \theta$

$\sin \theta \cos \theta = -\frac{3}{8}$ なので、

$(\cos \theta - \sin \theta)^2 = 1 - 2 (-\frac{3}{8}) = 1 + \frac{3}{4} = \frac{7}{4}$

したがって、$\cos \theta - \sin \theta = \pm \frac{\sqrt{7}}{2}$ となります。

$\theta$ が鈍角であることから、$\sin \theta > 0$ かつ $\cos \theta < 0$ となります。したがって、$\cos \theta - \sin \theta < 0$ となるため、$\cos \theta - \sin \theta = - \frac{\sqrt{7}}{2}$ です。

よって、$\cos^4 \theta - \sin^4 \theta = (\cos \theta + \sin \theta)(\cos \theta - \sin \theta) = (\frac{1}{2})(-\frac{\sqrt{7}}{2}) = -\frac{\sqrt{7}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $-\frac{4}{3}$

(2) $-\frac{\sqrt{7}}{4}$