0 ≤ x < 2π の範囲で、次の2つの三角方程式を解く問題です。 (1) $\sqrt{3} \sin x + \cos x = 1$ (2) $\sin x + \sqrt{3} \cos x + \sqrt{3} = 0$

1. 問題の内容

0 ≤ x < 2π の範囲で、次の2つの三角方程式を解く問題です。

(1) $\sqrt{3} \sin x + \cos x = 1$

(2) $\sin x + \sqrt{3} \cos x + \sqrt{3} = 0$

2. 解き方の手順

(1)

三角関数の合成を利用します。

$\sqrt{3} \sin x + \cos x = R \sin(x + \alpha)$ となる $R$ と $\alpha$ を求めます。

$R = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$

$\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin \alpha = \frac{1}{2}$ より、$\alpha = \frac{\pi}{6}$

したがって、

$2 \sin(x + \frac{\pi}{6}) = 1$

$\sin(x + \frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$

$0 \leq x < 2\pi$ より、$\frac{\pi}{6} \leq x + \frac{\pi}{6} < 2\pi + \frac{\pi}{6}$

$\sin \theta = \frac{1}{2}$ となる $\theta$ は、$\theta = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$

$x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$

$x = 0, \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$

(2)

$\sin x + \sqrt{3} \cos x = R \sin(x + \alpha)$ となる $R$ と $\alpha$ を求めます。

$R = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$

$\cos \alpha = \frac{1}{2}$, $\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ より、$\alpha = \frac{\pi}{3}$

したがって、

$2 \sin(x + \frac{\pi}{3}) + \sqrt{3} = 0$

$\sin(x + \frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$0 \leq x < 2\pi$ より、$\frac{\pi}{3} \leq x + \frac{\pi}{3} < 2\pi + \frac{\pi}{3}$

$\sin \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $\theta$ は、$\theta = \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$

$x + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$

$x = \frac{3\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$

$x = \pi, \frac{4\pi}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $x = 0, \frac{2\pi}{3}$

(2) $x = \pi, \frac{4\pi}{3}$