$\lim_{x\to1} \frac{a\sqrt{x+1}-b}{x-1} = \sqrt{2}$ が成り立つように、定数 $a, b$ の値を定める問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x\to1} \frac{a\sqrt{x+1}-b}{x-1} = \sqrt{2}$ が成り立つように、定数 $a, b$ の値を定める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x \to 1$ のとき、分母が $0$ に近づくので、分子も $0$ に近づく必要があります。そうでなければ、極限は存在しないか、または無限大に発散します。

したがって、

$a\sqrt{1+1}-b = 0$

$a\sqrt{2} - b = 0$

$b = a\sqrt{2}$

これを元の式に代入すると、

$\lim_{x\to1} \frac{a\sqrt{x+1}-a\sqrt{2}}{x-1} = \sqrt{2}$

$a \lim_{x\to1} \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{2}}{x-1} = \sqrt{2}$

ここで、$\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{2}}{x-1}$ を有理化します。

$\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{2}}{x-1} = \frac{(\sqrt{x+1}-\sqrt{2})(\sqrt{x+1}+\sqrt{2})}{(x-1)(\sqrt{x+1}+\sqrt{2})} = \frac{(x+1)-2}{(x-1)(\sqrt{x+1}+\sqrt{2})} = \frac{x-1}{(x-1)(\sqrt{x+1}+\sqrt{2})} = \frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{2}}$

したがって、

$a \lim_{x\to1} \frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{2}} = \sqrt{2}$

$a \cdot \frac{1}{\sqrt{1+1}+\sqrt{2}} = \sqrt{2}$

$a \cdot \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{2}} = \sqrt{2}$

$a \cdot \frac{1}{2\sqrt{2}} = \sqrt{2}$

$a = 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2 \cdot 2 = 4$

そして、$b = a\sqrt{2}$ より

$b = 4\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$a = 4$

$b = 4\sqrt{2}$