定積分 $\int_{2}^{3} (x^2+5)e^x dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{2}^{3} (x^2+5)e^x dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、与えられた積分を2つの積分に分割します。

$\int_{2}^{3} (x^2+5)e^x dx = \int_{2}^{3} x^2e^x dx + 5\int_{2}^{3} e^x dx$

次に、$I_1 = \int_{2}^{3} x^2e^x dx$ と $I_2 = \int_{2}^{3} e^x dx$ を計算します。

$I_2 = \int_{2}^{3} e^x dx = [e^x]_{2}^{3} = e^3 - e^2$

$I_1$を部分積分で計算します。

$u = x^2, dv = e^x dx$ とすると、$du = 2x dx, v = e^x$ となります。

$\int x^2e^x dx = x^2e^x - \int 2xe^x dx = x^2e^x - 2\int xe^x dx$

次に、$\int xe^x dx$ を部分積分で計算します。

$u = x, dv = e^x dx$ とすると、$du = dx, v = e^x$ となります。

$\int xe^x dx = xe^x - \int e^x dx = xe^x - e^x$

したがって、

$\int x^2e^x dx = x^2e^x - 2(xe^x - e^x) = x^2e^x - 2xe^x + 2e^x = e^x(x^2 - 2x + 2)$

$I_1 = \int_{2}^{3} x^2e^x dx = [e^x(x^2 - 2x + 2)]_{2}^{3} = e^3(3^2 - 2(3) + 2) - e^2(2^2 - 2(2) + 2) = e^3(9 - 6 + 2) - e^2(4 - 4 + 2) = 5e^3 - 2e^2$

よって、

$\int_{2}^{3} (x^2+5)e^x dx = I_1 + 5I_2 = (5e^3 - 2e^2) + 5(e^3 - e^2) = 5e^3 - 2e^2 + 5e^3 - 5e^2 = 10e^3 - 7e^2$

3. 最終的な答え

$10e^3 - 7e^2$