関数 $F(x) = (5x+2)^x$ が与えられている。関数 $f(x) = \ln(F(x))$ の $x=1$ における微分係数 $f'(1)$ を求めよ。

解析学微分対数関数合成関数

2025/5/6

1. 問題の内容

関数

F(x) = (5x+2)^x

が与えられている。関数

f(x) = \ln(F(x))

の

x=1

における微分係数

f'(1)

を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、

f(x)

を簡略化する。

f(x) = \ln(F(x)) = \ln((5x+2)^x) = x \ln(5x+2)

次に、

f(x)

を微分する。積の微分法を用いる。

f'(x) = (x)' \ln(5x+2) + x (\ln(5x+2))' = \ln(5x+2) + x \cdot \frac{5}{5x+2} = \ln(5x+2) + \frac{5x}{5x+2}

最後に、

f'(1)

を計算する。

f'(1) = \ln(5(1)+2) + \frac{5(1)}{5(1)+2} = \ln(7) + \frac{5}{7}

したがって、

f'(1) = \ln(7) + \frac{5}{7} = \frac{7\ln(7) + 5}{7}

3. 最終的な答え

\frac{5}{7} + \ln(7)

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