関数 $f(x) = (2x-1)(x^2 + 3x + 1)$ を展開し、微分して増減表を作成し、極値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = (2x-1)(x^2 + 3x + 1)$ を展開し、微分して増減表を作成し、極値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を展開します。

$f(x) = (2x-1)(x^2 + 3x + 1) = 2x^3 + 6x^2 + 2x - x^2 - 3x - 1 = 2x^3 + 5x^2 - x - 1$

次に、$f(x)$ を微分します。

$f'(x) = 6x^2 + 10x - 1$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。これは二次方程式なので、解の公式を使います。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-10 \pm \sqrt{100 - 4(6)(-1)}}{2(6)} = \frac{-10 \pm \sqrt{124}}{12} = \frac{-10 \pm 2\sqrt{31}}{12} = \frac{-5 \pm \sqrt{31}}{6}$

したがって、$x = \frac{-5 + \sqrt{31}}{6}$ と $x = \frac{-5 - \sqrt{31}}{6}$ が極値を取る候補点です。

$f'(x)$の符号の変化を調べるために増減表を作成します。

$x_1 = \frac{-5 - \sqrt{31}}{6} \approx -1.76$

$x_2 = \frac{-5 + \sqrt{31}}{6} \approx 0.10$

増減表：

| x | ... | $x_1$ | ... | $x_2$ | ... |

| :---- | :------ | :---------- | :------ | :---------- | :------ |

| f'(x) | + | 0 | - | 0 | + |

| f(x) | 増加 | 極大 | 減少 | 極小 | 増加 |

$x = \frac{-5 - \sqrt{31}}{6}$ で極大値をとり、$x = \frac{-5 + \sqrt{31}}{6}$ で極小値をとります。

3. 最終的な答え

極大値を取る $x$ の値: $\frac{-5 - \sqrt{31}}{6}$

極小値を取る $x$ の値: $\frac{-5 + \sqrt{31}}{6}$