## 1. 問題の内容

##

1. 問題の内容

与えられた関数 $F(x)$ に対して、$f(x) = \ln(F(x))$ と定義されるとき、$x=1$ における微分係数 $f'(1)$ を求める問題です。

問題は2つあります。

1. $F(x) = \frac{1}{\sqrt{8\pi}} e^{-\frac{1}{8}(x+7)^2}$ のとき、$f'(1)$ を求める。

2. $F(x) = \frac{1}{x} e^{-\frac{1}{8}(\ln(x)-5)^2}$ のとき、$f'(1)$ を求める。

##

2. 解き方の手順

###

1. $F(x) = \frac{1}{\sqrt{8\pi}} e^{-\frac{1}{8}(x+7)^2}$ の場合

まず、$f(x) = \ln(F(x))$ を計算します。

$f(x) = \ln\left( \frac{1}{\sqrt{8\pi}} e^{-\frac{1}{8}(x+7)^2} \right) = \ln\left(\frac{1}{\sqrt{8\pi}}\right) + \ln\left( e^{-\frac{1}{8}(x+7)^2} \right)$

$f(x) = -\ln(\sqrt{8\pi}) - \frac{1}{8}(x+7)^2$

次に、$f(x)$ を微分して $f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = -\frac{1}{8} \cdot 2(x+7) = -\frac{1}{4}(x+7)$

最後に、$x=1$ を代入して $f'(1)$ を求めます。

$f'(1) = -\frac{1}{4}(1+7) = -\frac{1}{4} \cdot 8 = -2$

###

2. $F(x) = \frac{1}{x} e^{-\frac{1}{8}(\ln(x)-5)^2}$ の場合

まず、$f(x) = \ln(F(x))$ を計算します。

$f(x) = \ln\left( \frac{1}{x} e^{-\frac{1}{8}(\ln(x)-5)^2} \right) = \ln\left(\frac{1}{x}\right) + \ln\left( e^{-\frac{1}{8}(\ln(x)-5)^2} \right)$

$f(x) = -\ln(x) - \frac{1}{8}(\ln(x)-5)^2$

次に、$f(x)$ を微分して $f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = -\frac{1}{x} - \frac{1}{8} \cdot 2(\ln(x)-5) \cdot \frac{1}{x} = -\frac{1}{x} - \frac{1}{4x}(\ln(x)-5)$

$f'(x) = -\frac{1}{x} - \frac{\ln(x)}{4x} + \frac{5}{4x} = \frac{-4-\ln(x)+5}{4x} = \frac{1-\ln(x)}{4x}$

最後に、$x=1$ を代入して $f'(1)$ を求めます。$\ln(1) = 0$ であることに注意します。

$f'(1) = \frac{1-\ln(1)}{4\cdot 1} = \frac{1-0}{4} = \frac{1}{4}$

##

3. 最終的な答え

1. $F(x) = \frac{1}{\sqrt{8\pi}} e^{-\frac{1}{8}(x+7)^2}$ のとき、$f'(1) = -2$

2. $F(x) = \frac{1}{x} e^{-\frac{1}{8}(\ln(x)-5)^2}$ のとき、$f'(1) = \frac{1}{4}$