連続な関数 $f(x)$ について、以下の2つの等式を証明します。 (1) $\int_0^1 f(x) dx = \int_0^1 f(1-x) dx$ (2) $\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x) dx$

1. 問題の内容

連続な関数 $f(x)$ について、以下の2つの等式を証明します。

(1) $\int_0^1 f(x) dx = \int_0^1 f(1-x) dx$

(2) $\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x) dx$

2. 解き方の手順

(1)

左辺を $I$ とします。つまり、

$I = \int_0^1 f(x) dx$

右辺の積分において、$x = 1 - t$ と変数変換をすると、$dx = -dt$ であり、積分区間は $x: 0 \to 1$ に対して $t: 1 \to 0$ となります。したがって、

$\int_0^1 f(1-x) dx = \int_1^0 f(t) (-dt) = - \int_1^0 f(t) dt = \int_0^1 f(t) dt = \int_0^1 f(x) dx = I$

したがって、左辺と右辺が等しいことが証明されました。

(2)

左辺を $J$ とします。つまり、

$J = \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) dx$

右辺の積分において、$x = \frac{\pi}{2} - t$ と変数変換をすると、$dx = -dt$ であり、積分区間は $x: 0 \to \frac{\pi}{2}$ に対して $t: \frac{\pi}{2} \to 0$ となります。したがって、

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x) dx = \int_{\frac{\pi}{2}}^0 f(\cos(\frac{\pi}{2} - t)) (-dt) = - \int_{\frac{\pi}{2}}^0 f(\sin t) dt = \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sin t) dt = \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) dx = J$

したがって、左辺と右辺が等しいことが証明されました。

3. 最終的な答え

(1) $\int_0^1 f(x) dx = \int_0^1 f(1-x) dx$ は証明されました。

(2) $\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\cos x) dx$ は証明されました。