$a<b$とし、$t$を任意の実数とするとき、定積分$\int_a^b \{tf(x) + g(x)\}^2 dx$は$t$の関数であり、その値が常に正または0であることを用いて、次の不等式を証明する。 $$ \left\{ \int_a^b f(x)g(x) dx \right\}^2 \le \left( \int_a^b \{f(x)\}^2 dx \right) \left( \int_a^b \{g(x)\}^2 dx \right) $$

1. 問題の内容

$a<b$とし、$t$を任意の実数とするとき、定積分$\int_a^b \{tf(x) + g(x)\}^2 dx$は$t$の関数であり、その値が常に正または0であることを用いて、次の不等式を証明する。

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\left\{ \int_a^b f(x)g(x) dx \right\}^2 \le \left( \int_a^b \{f(x)\}^2 dx \right) \left( \int_a^b \{g(x)\}^2 dx \right)

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2. 解き方の手順

定積分 $\int_a^b \{tf(x) + g(x)\}^2 dx$ を計算し、$t$ の2次式で表す。

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\int_a^b \{tf(x) + g(x)\}^2 dx = \int_a^b \{t^2 f(x)^2 + 2tf(x)g(x) + g(x)^2\} dx

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= t^2 \int_a^b f(x)^2 dx + 2t \int_a^b f(x)g(x) dx + \int_a^b g(x)^2 dx

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この式を $At^2 + Bt + C$ とおく。

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A = \int_a^b f(x)^2 dx

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B = 2 \int_a^b f(x)g(x) dx

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C = \int_a^b g(x)^2 dx

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$\int_a^b \{tf(x) + g(x)\}^2 dx \ge 0$ であるから、$At^2 + Bt + C \ge 0$ がすべての実数 $t$ で成り立つ。

これは、$t$ の2次方程式 $At^2 + Bt + C = 0$ が実数解を持たないか、重解を持つことを意味する。

したがって、判別式 $D = B^2 - 4AC \le 0$ である。

これより、

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B^2 - 4AC = \left( 2 \int_a^b f(x)g(x) dx \right)^2 - 4 \left( \int_a^b f(x)^2 dx \right) \left( \int_a^b g(x)^2 dx \right) \le 0

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4 \left\{ \int_a^b f(x)g(x) dx \right\}^2 \le 4 \left( \int_a^b f(x)^2 dx \right) \left( \int_a^b g(x)^2 dx \right)

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\left\{ \int_a^b f(x)g(x) dx \right\}^2 \le \left( \int_a^b f(x)^2 dx \right) \left( \int_a^b g(x)^2 dx \right)

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3. 最終的な答え

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\left\{ \int_a^b f(x)g(x) dx \right\}^2 \le \left( \int_a^b \{f(x)\}^2 dx \right) \left( \int_a^b \{g(x)\}^2 dx \right)

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