与えられた積分 $\int \left(\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2}\right)^2 dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \left(\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2}\right)^2 dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を展開します。

$\left(\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2}\right)^2 = \sin^2 \frac{x}{2} + 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2}$

次に、三角関数の公式 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ と $2 \sin \theta \cos \theta = \sin 2\theta$ を適用します。

$\sin^2 \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2} = 1$

$2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} = \sin x$

したがって、

$\sin^2 \frac{x}{2} + 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2} = 1 + \sin x$

積分を計算します。

$\int (1 + \sin x) dx = \int 1 dx + \int \sin x dx$

$\int 1 dx = x + C_1$

$\int \sin x dx = -\cos x + C_2$

したがって、

$\int (1 + \sin x) dx = x - \cos x + C$ （ここで $C = C_1 + C_2$ は積分定数）

3. 最終的な答え

$x - \cos x + C$